Witam! Mam problem z pewnym zadaniem. Kombinowałem coś ze wzorami skróconego mnożenia i podstawieniami ale nic to nie dało.
Liczba \(\displaystyle{ (17 + \sqrt{71} )^{31} + (17 - \sqrt{71} )^{31}}\) jest:
a) niewymierna
b) całkowita parzysta
c) całkowita nieparzysta
d) wymierna niecałkowiata
Jaka to liczba?
-
kalwi
- Użytkownik
- Posty: 1931
- Rejestracja: 29 maja 2009, o 11:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 145 razy
- Pomógł: 320 razy
Jaka to liczba?
ja bym to zrobił tak, że trzeba zauważyć, co się stanie przy podnoszeniu do 31 potęgi, tj. będzie to wyglądać jakoś tak
\(\displaystyle{ (17+ \sqrt{71})^{31}=17^{31}+k_1 \cdot 17^{30} \cdot \sqrt{71}+k_2 \cdot 17^{29} \cdot \sqrt{71}^2 +....+k_2 \cdot 17^2 \cdot \sqrt{71}^{29}+k_1 \cdot 17 \cdot \sqrt{71}^{30}+71^{31} \\ \\
(17- \sqrt{71})^{31}=17^{31}-k_1 \cdot 17^{30} \cdot \sqrt{71}+k_2 \cdot 17^{29} \cdot \sqrt{71}^2 -....-k_2 \cdot 17^2 \cdot \sqrt{71}^{29}+k_1 \cdot 17 \cdot \sqrt{71}^{30}-71^{31}}\)
gdzie \(\displaystyle{ k_1,k_2...k_n}\) to są jakieś stałe liczby, współczynniki przy podnoszeniu do potęgi
no i jak łatwo zauważyć nieparzyste potęgi \(\displaystyle{ \sqrt{71}}\) się zredukują, a cała reszta się zsumuje, czyli będzie to liczba parzysta
\(\displaystyle{ (17+ \sqrt{71})^{31}=17^{31}+k_1 \cdot 17^{30} \cdot \sqrt{71}+k_2 \cdot 17^{29} \cdot \sqrt{71}^2 +....+k_2 \cdot 17^2 \cdot \sqrt{71}^{29}+k_1 \cdot 17 \cdot \sqrt{71}^{30}+71^{31} \\ \\
(17- \sqrt{71})^{31}=17^{31}-k_1 \cdot 17^{30} \cdot \sqrt{71}+k_2 \cdot 17^{29} \cdot \sqrt{71}^2 -....-k_2 \cdot 17^2 \cdot \sqrt{71}^{29}+k_1 \cdot 17 \cdot \sqrt{71}^{30}-71^{31}}\)
gdzie \(\displaystyle{ k_1,k_2...k_n}\) to są jakieś stałe liczby, współczynniki przy podnoszeniu do potęgi
no i jak łatwo zauważyć nieparzyste potęgi \(\displaystyle{ \sqrt{71}}\) się zredukują, a cała reszta się zsumuje, czyli będzie to liczba parzysta