wykaż że 13 dzieli

[kesi]

Wykaż że \(\displaystyle{ 13| 4 ^{2n+1} + 3^{n+2}}\)

Próbowałam rozwiązać indukcją matematyczną i z własności relacji podzielności ale zawsze dochodziłam do momentu gdzie się zacinałam. Może ktoś potrafiłby mi pomóc?

[bakala12]

Przedstaw swoją próbę rozwiązania, podpowiemy coś.

[kesi]

13| \(\displaystyle{ 4^{2n+1}+3^{n-2}}\)


\(\displaystyle{ 4^{2n+1}+3^{n-2}\equiv 0 \pmod{13} \\
\left(4\right)^{2} ^{n} \cdot 4 + 3^{n} \cdot 3 ^{-2} \equiv 0 \pmod{13} \\
16^{n} \cdot 4 + 3^{n} \cdot \frac{1}{9} \equiv 0 \pmod{13}}\)

i dalej wychodzą jakieś bzdurki...

[bakala12]

kesi, wiesz co to są kongruencje? Jeśli nie to nie polecam ich używać.
Jeśli koniecznie chcesz to zauważ, że:
\(\displaystyle{ 4^{2n+1}+3^{n+2}=4 \cdot 16^{n}+3^{n+2} \equiv 4 \cdot 3^{n}+3^{n+2}=3^{n}\left( 4+9\right) \equiv 0 \pmod{13}}\)

[kesi]

kesi, wiesz co to są kongruencje? Jeśli nie to nie polecam ich używać.
Jeśli koniecznie chcesz to zauważ, że:
\(\displaystyle{ 4^{2n+1}+3^{n+2}=4 \cdot 16^{n}+3^{n+2} \equiv 4 \cdot 3^{n}+3^{n+2}=3^{n}\left( 4+9\right) \equiv 0 \pmod{13}}\)

bardzo dziękuje za pomoc, niestety muszę używać kongruencji bo mam niedługo koło z elementarnej teorii liczb, jednak nie bardzo rozumiem jednego przejścia skąd:

\(\displaystyle{ 4 \cdot 16^{n}+3^{n+2} \equiv 4 \cdot 3^{n}+3^{n+2}}\)

???

[Vether]

Z własności kongruencji mamy:

\(\displaystyle{ a \equiv a+kp \pmod {p}, k \in \ZZ}\)

Stąd także:

\(\displaystyle{ a^n \equiv (a+kp)^n \pmod {p}}\)

...i z tego właśnie korzystamy.

W Twoim przypadku \(\displaystyle{ 16^n \equiv 3^n \pmod {13}}\) (dla \(\displaystyle{ k=-1}\))