Wykaż że \(\displaystyle{ 13| 4 ^{2n+1} + 3^{n+2}}\)
Próbowałam rozwiązać indukcją matematyczną i z własności relacji podzielności ale zawsze dochodziłam do momentu gdzie się zacinałam. Może ktoś potrafiłby mi pomóc?
wykaż że 13 dzieli
-
- Użytkownik
- Posty: 23
- Rejestracja: 28 paź 2013, o 17:21
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Świecie
- Podziękował: 1 raz
wykaż że 13 dzieli
13| \(\displaystyle{ 4^{2n+1}+3^{n-2}}\)
\(\displaystyle{ 4^{2n+1}+3^{n-2}\equiv 0 \pmod{13} \\
\left(4\right)^{2} ^{n} \cdot 4 + 3^{n} \cdot 3 ^{-2} \equiv 0 \pmod{13} \\
16^{n} \cdot 4 + 3^{n} \cdot \frac{1}{9} \equiv 0 \pmod{13}}\)
i dalej wychodzą jakieś bzdurki...
\(\displaystyle{ 4^{2n+1}+3^{n-2}\equiv 0 \pmod{13} \\
\left(4\right)^{2} ^{n} \cdot 4 + 3^{n} \cdot 3 ^{-2} \equiv 0 \pmod{13} \\
16^{n} \cdot 4 + 3^{n} \cdot \frac{1}{9} \equiv 0 \pmod{13}}\)
i dalej wychodzą jakieś bzdurki...
Ostatnio zmieniony 8 gru 2013, o 14:28 przez bakala12, łącznie zmieniany 3 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 3044
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gołąb
- Podziękował: 24 razy
- Pomógł: 513 razy
wykaż że 13 dzieli
kesi, wiesz co to są kongruencje? Jeśli nie to nie polecam ich używać.
Jeśli koniecznie chcesz to zauważ, że:
\(\displaystyle{ 4^{2n+1}+3^{n+2}=4 \cdot 16^{n}+3^{n+2} \equiv 4 \cdot 3^{n}+3^{n+2}=3^{n}\left( 4+9\right) \equiv 0 \pmod{13}}\)
Jeśli koniecznie chcesz to zauważ, że:
\(\displaystyle{ 4^{2n+1}+3^{n+2}=4 \cdot 16^{n}+3^{n+2} \equiv 4 \cdot 3^{n}+3^{n+2}=3^{n}\left( 4+9\right) \equiv 0 \pmod{13}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 23
- Rejestracja: 28 paź 2013, o 17:21
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Świecie
- Podziękował: 1 raz
wykaż że 13 dzieli
bakala12 pisze:kesi, wiesz co to są kongruencje? Jeśli nie to nie polecam ich używać.
Jeśli koniecznie chcesz to zauważ, że:
\(\displaystyle{ 4^{2n+1}+3^{n+2}=4 \cdot 16^{n}+3^{n+2} \equiv 4 \cdot 3^{n}+3^{n+2}=3^{n}\left( 4+9\right) \equiv 0 \pmod{13}}\)
bardzo dziękuje za pomoc, niestety muszę używać kongruencji bo mam niedługo koło z elementarnej teorii liczb, jednak nie bardzo rozumiem jednego przejścia skąd:
\(\displaystyle{ 4 \cdot 16^{n}+3^{n+2} \equiv 4 \cdot 3^{n}+3^{n+2}}\)
???
- Vether
- Użytkownik
- Posty: 408
- Rejestracja: 22 kwie 2013, o 19:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 114 razy
wykaż że 13 dzieli
Z własności kongruencji mamy:
\(\displaystyle{ a \equiv a+kp \pmod {p}, k \in \ZZ}\)
Stąd także:
\(\displaystyle{ a^n \equiv (a+kp)^n \pmod {p}}\)
...i z tego właśnie korzystamy.
W Twoim przypadku \(\displaystyle{ 16^n \equiv 3^n \pmod {13}}\) (dla \(\displaystyle{ k=-1}\))
\(\displaystyle{ a \equiv a+kp \pmod {p}, k \in \ZZ}\)
Stąd także:
\(\displaystyle{ a^n \equiv (a+kp)^n \pmod {p}}\)
...i z tego właśnie korzystamy.
W Twoim przypadku \(\displaystyle{ 16^n \equiv 3^n \pmod {13}}\) (dla \(\displaystyle{ k=-1}\))