(3 zadanka)Dwumian Newtona

[jawor]

1)Wykaź prawdziwość wzoru
(n po 0)+(n po 1)+(n po 2)+...(n po n-1)+(n po n)=2^n
2)Sprawdz, czy liczba k=(75 po 50) jest podzielna przez 10.{tutaj chodzi mi o sposób liczenia}
3)Podaj, ile zer ma na koncu liczba :100!{tu też mi chodzi o sposób liczenia}

[Zlodiej]

1)
Wskazówka
(1+1)^n rozpisz z dwumianu Newtona.

[Tomasz Rużycki]

1) Można to również zrobić kombinatorycznie Wyjdź od tego, że każdy zbiór n-elementowy ma 2n podzbiorów. No i jeszcze \(\displaystyle{ {n \choose k}}\) to liczba k-elementowych podzbiorów zbioru n-elementowego. Powinieneś sobie dalej poradzić.

Pozdrawiam,
--
Tomasz Rużycki

[g]

trzecie: wystarczy sprawdzic ilosc piatek w rozkladzie na czynniki pierwsze. ilosc dwojek jest na pewno wieksza, wiec ilosc dziesiatek w rozkladzie (nie na czynniki pierwsze juz) bedzie taka, jak ilosc piatek.

[_el_doopa]

a jest taki wzorek Lagranga albo jakiegos na L

ze najwieksze takie k dla liczby pierwzsej p że: \(\displaystyle{ n!=0(mod p^k)}\) wynosi:
\(\displaystyle{ k=\Bigsum_{i=1}^{\infty}[\frac{n}{p^i}]}\)

[Olo]

2) 75po50= 75!/50!*25!=(75*74*...*51)/25!
Sposób liczenia:
Wiemy, że jeśli liczba ma końcówkę 0 to jest podzielna przez 10.
ilość liczb z końcówką 5 lub 0 od 51 do 75 wynosi 7 (ilość dwójek jest znacznie większa)
ilość liczb z końcówką 5 lub 0 od 1 do 25 wynosi 7
Stąd licznik ma 7 zer i mianownik ma 7 zer, po podzieleniu, końcówka na pewno nie będzie zero, co mówi nam, że 75 po 50 nie jest podzielne przez 10