Znajdź wszystkie pierwiastki pierwotne liczby 25
-
- Użytkownik
- Posty: 144
- Rejestracja: 13 kwie 2009, o 15:44
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 49 razy
Znajdź wszystkie pierwiastki pierwotne liczby 25
Problem jak to zrobić: Znajdź wszystkie pierwiastki pierwotne liczby 25
- ben2109
- Użytkownik
- Posty: 77
- Rejestracja: 1 lis 2012, o 18:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zabrze
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5 razy
Znajdź wszystkie pierwiastki pierwotne liczby 25
\(\displaystyle{ k^{1}+ k^{2}+ k^{3}+ k^{4}...+k^{20}\equiv 0 \pmod{25}}\)
Oczywiście każde \(\displaystyle{ k^{l}}\) ma inną resztę, która jest względnie pierwsza z \(\displaystyle{ 25}\).
Jeżeli \(\displaystyle{ k}\) jest pierwiastkiem pierwotnym \(\displaystyle{ mod 25}\), to dla każdego \(\displaystyle{ n \in N}\) , takiego że \(\displaystyle{ (n, 24)=1}\) \(\displaystyle{ n \in \left( 0;25\right)}\) , liczba \(\displaystyle{ k^{n}}\) również jest pierwiastkiem.
Jeżeli \(\displaystyle{ k}\) jest pierwiastkiem pierwotnym to:
\(\displaystyle{ k^{4} \equiv 1 \pmod{5}}\)
\(\displaystyle{ k^{4} \not\equiv 1 \pmod{25}}\)
Zauważ, że jeśli \(\displaystyle{ k\equiv a \pmod{25}}\) jest pierwiastkiem, to \(\displaystyle{ k\equiv 25-a \pmod{25}}\) również nim jest, czyli mniej sprawdzania.
Oczywiście każde \(\displaystyle{ k^{l}}\) ma inną resztę, która jest względnie pierwsza z \(\displaystyle{ 25}\).
Jeżeli \(\displaystyle{ k}\) jest pierwiastkiem pierwotnym \(\displaystyle{ mod 25}\), to dla każdego \(\displaystyle{ n \in N}\) , takiego że \(\displaystyle{ (n, 24)=1}\) \(\displaystyle{ n \in \left( 0;25\right)}\) , liczba \(\displaystyle{ k^{n}}\) również jest pierwiastkiem.
Jeżeli \(\displaystyle{ k}\) jest pierwiastkiem pierwotnym to:
\(\displaystyle{ k^{4} \equiv 1 \pmod{5}}\)
\(\displaystyle{ k^{4} \not\equiv 1 \pmod{25}}\)
Zauważ, że jeśli \(\displaystyle{ k\equiv a \pmod{25}}\) jest pierwiastkiem, to \(\displaystyle{ k\equiv 25-a \pmod{25}}\) również nim jest, czyli mniej sprawdzania.
-
- Użytkownik
- Posty: 144
- Rejestracja: 13 kwie 2009, o 15:44
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 49 razy
Znajdź wszystkie pierwiastki pierwotne liczby 25
Dzięki za odpowiedź, chociaż nadal nie rozumiem tego.
Z definicji z Wiki zrozumiałem że dana liczba ma pierwiastek pierwotny jeśli reszta z modulo pierwiastka i kolejnych potęg tego pierwiastka z tą liczbą daje wszystkie reszty tj.
np. dla 13, pierwiastkiem pierwotnym jest 2
Mod(2,13) i z kolejnymi potęgami 2,4,8,16,32...itd.
daje reszty: 2 4 8 3 6 12 11 9 5 10 7 1
Wydaje mi się że 25 nie ma pierwiastka pierwotnego?
Z definicji z Wiki zrozumiałem że dana liczba ma pierwiastek pierwotny jeśli reszta z modulo pierwiastka i kolejnych potęg tego pierwiastka z tą liczbą daje wszystkie reszty tj.
np. dla 13, pierwiastkiem pierwotnym jest 2
Mod(2,13) i z kolejnymi potęgami 2,4,8,16,32...itd.
daje reszty: 2 4 8 3 6 12 11 9 5 10 7 1
Wydaje mi się że 25 nie ma pierwiastka pierwotnego?
- ben2109
- Użytkownik
- Posty: 77
- Rejestracja: 1 lis 2012, o 18:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zabrze
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5 razy
Znajdź wszystkie pierwiastki pierwotne liczby 25
-----> Czyli odpadają nam 5,10,15,20,25. Czyli reszt z dzielenia jest \(\displaystyle{ 20}\), dlatego \(\displaystyle{ k}\) jest tam do dwudziestych potęg.
-Rozdział pierwiastki pierwotne dla modułu \(\displaystyle{ p^{2}}\)
A dokładniej przykład, który tam jest. Ogólnie symbol \(\displaystyle{ \phi (n)}\) oznacza ilość liczb od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ n}\) względnie pierwszych z \(\displaystyle{ n}\).
-Rozdział pierwiastki pierwotne dla modułu \(\displaystyle{ p^{2}}\)
A dokładniej przykład, który tam jest. Ogólnie symbol \(\displaystyle{ \phi (n)}\) oznacza ilość liczb od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ n}\) względnie pierwszych z \(\displaystyle{ n}\).