Nierówność z niewiadomą w potęgach

[ben2109]

Mam do udowodnienia nierówność:
\(\displaystyle{ n \in \mathbb{N} \setminus\left\{0 \right\}}\)
\(\displaystyle{ (1+ \frac{1}{n}) ^{n+1}>(1+ \frac{1}{n+1}) ^{n+2}}\)

\(\displaystyle{ (1+ \frac{1}{n}) ^{n+1}>(1+ \frac{1}{n+1}) ^{n+2} \Rightarrow (1+ \frac{1}{ n^{2}+2n}) ^{n+1}>1+ \frac{1}{n+1}}\)
Czy jest jakiś inny sposób, od zestawienia tego z nierównością Bernoulliego? Myślałem nad rozpisaniem tego za pomocą dwumianu, lecz tutaj nic nie wskórałem. Może udowodnić jakąś zbieżność?

[Lorek]

\(\displaystyle{ \Big(1+ \frac{1}{n}\Big) ^{n+1}>\Big(1+ \frac{1}{n+1}\Big ) ^{n+2} \iff \bigg(\frac{1+\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{n+1}} \bigg)^{n+1}>1+\frac{1}{n+1}}\)
i pokombinuj z lewą stroną nierówności.

[ben2109]

Nie mam pomysłu.

[kropka+]

\(\displaystyle{ \frac{1+\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{n+1}} =1+ \frac{1}{n ^{2}+2n }}\)

[ben2109]

\(\displaystyle{ (\frac{1+ \frac{1}{n} }{1+ \frac{1}{n+1} }) ^{n+1}>1+ \frac{1}{n+1} \Rightarrow \left[ \frac{(n+1)(n+1)}{n(n+2)} \right]^{n+1}>1+ \frac{1}{n+1}}\)

Tym razem przyjmijmy, że: \(\displaystyle{ n=a}\), \(\displaystyle{ n+2=b}\)
\(\displaystyle{ \left[ \frac{( \frac{a+b}{2} )( \frac{a+b}{2} )}{ab} \right]^{ \frac{a+b}{2} }>1+ \frac{1}{ \frac{a+b}{2} } \Rightarrow \left[ \frac{a}{4b}+\frac{ b}{4a}+\frac{ 1}{2} \right]^{ \frac{a+b}{2} }>1+ \frac{2}{a+b} \setminus \left( ...\right)^{2}}\)

\(\displaystyle{ \left[ \frac{a}{4b}+\frac{ b}{4a}+\frac{ 1}{2} \right]^{ a+b}}>1+ \frac{4}{ (a+b)^{2}}+ \frac{4}{a+b}}\)
Tutaj możemy zauważyć, że: \(\displaystyle{ 1+ \frac{4}{ (a+b)^{2}}+ \frac{4}{a+b} \le 2 \frac{1}{4}}\)

\(\displaystyle{ \left[ \frac{a}{4b}+\frac{ b}{4a}+\frac{ 1}{2} \right]^{ a+b}}>1+ \frac{4}{ (a+b)^{2}}+ \frac{4}{a+b}}\).

Zauważmy, że wyrażenie: \(\displaystyle{ 1+ \frac{4}{ (a+b)^{2}}+ \frac{4}{a+b}}\) należy do przedziału \(\displaystyle{ \left\langle 2 \frac{1}{4};1 \right)}\). Wraz ze wzrostem argumentów, wyrażenie te jest bliżej \(\displaystyle{ 1}\).

Trzebaby jakoś wykazać, że prawa strona szybciej dąży do \(\displaystyle{ 1}\).

[Lorek]

Hm na początku wyglądało to obiecująco, myślałem, że może jakoś nierówności o średnich da się wykorzystać, ale potem już było nieciekawie.
Trzeba było skorzystać z tego, co kropka+ napisała.
\(\displaystyle{ \bigg(\frac{1+\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{n+1}} \bigg)^{n+1}=\Big(1+ \frac{1}{n ^{2}+2n }\Big)^{n+1}\stackrel{*}{\geqslant }1+\frac{n+1}{n^2+2n}}\)
i wystarczy pokazać, że \(\displaystyle{ 1+\frac{n+1}{n^2+2n}>1+\frac{1}{n+1}}\), \(\displaystyle{ *}\) - nierówność Bernoullego.

[ben2109]

Właśnie chciałem w jakiś sposób obyć się bez niej. Jeśli chciałbym udowodnić indukcyjnie, że prawa strona szybciej dąży do \(\displaystyle{ 1}\), to zapewne przydałby się jakiś program.