Korzystając z kongruencji udowodnić, że

[misia12345]

Korzystając z kongruencji udowodnić, że :

\(\displaystyle{ 8^{255}\equiv 5 \pmod{13}}\)

nigdzie nie mogłam znaleźć przykładów z rozwiązaniami takich zadań, proszę o pokazanie sposobu udowadniania takich kongruencji.

[Kartezjusz]

A umiesz na razie bez? wiele się nie zmieni, ale zrobią się różnice w zapisie. Jeśli tak to zapisz:)

[oldj]

\(\displaystyle{ 8^{0}\equiv 1 \pmod{13}}\)
\(\displaystyle{ 8^{1}\equiv 8 \pmod{13}}\)
\(\displaystyle{ 8^{2}\equiv 12 \pmod{13}}\)
\(\displaystyle{ 8^{3}\equiv 5 \pmod{13}}\)
\(\displaystyle{ 8^{4}\equiv 1 \pmod{13}}\)

'i tak dalej' , powtarzac się będzie sekwencja 1,8,12,5...stąd wynika, że \(\displaystyle{ 8^{4k+3} \equiv 5 \pmod{13}}\) , dla \(\displaystyle{ k}\) naturalnego.

\(\displaystyle{ 8^{255} = 8^{252+3} = 8^{4\cdot63 + 3}}\)

[misia12345]

Dziękuję bardzo za odpowiedź .

-- 25 lis 2013, o 16:32 --

Mam jeszcze pytanie odnośnie takich sum np.

\(\displaystyle{ 2^{70}+3^{70}\equiv 0 \pmod{13}}\)

jak takie rodzaje kongruencji udowadniać ? czy można zrobić coś takiego :

\(\displaystyle{ 2^{2}+3^{2}\equiv 0 \pmod{13}}\)
\(\displaystyle{ 2^{2}\equiv -3^{2} \pmod{13}}\)
\(\displaystyle{ (2^{2})^{35}\equiv (-3^{2})^{35} \pmod{13}}\)
\(\displaystyle{ 2^{70}\equiv -3^{70} \pmod{13}}\)
\(\displaystyle{ 2^{70}+3^{70}\equiv 0 \pmod{13}}\)

czy to jest wystarczający dowód czy należałoby to inaczej zrobić?

[oldj]

Jest w porządku. Tylko w trzech miejscach zmień \(\displaystyle{ 3^3}\) na \(\displaystyle{ 3^2}\) , literówka się wkradła.

[misia12345]

ano tak dzięki za odpowiedź