Czy zachodzi podzielność?

[dawid_c]

Jest ciąg określony wzorem:
\(\displaystyle{ a_{n}=2 \cdot 3 \cdot \left( \frac{6^{n}-6}{5} \right)}\)
Trzeba wykazać, że 50. wyraz jest podzielny przez 2 i sprawdzić czy jest podzielny 6.
Więc 2 i 3 wyciągnąłem, ale teraz w jaki sposób wykazać, że \(\displaystyle{ 5 | \left( 6^{n}-6 \right)}\)? Jak wsadzić na kalkulator to zauważam, że początkowe wyrazy \(\displaystyle{ 6^{n}}\) mają jako ostatnią cyfrę 6. Ale to nie jest dowód.
Może jeszcze inaczej powinienem do tego podejść?

[mortan517]

\(\displaystyle{ 5 | (6^{n}-6)}\)

indukcyjnie

[dawid_c]

Możesz mnie trochę bardziej naprowadzić? Chyba nie byłem na zajęciach w liceum, kiedy to tłumaczyli.

[mortan517]

Krok 1. Sprawdzasz czy zachodzi dla n=1
Krok 2. Zakładasz, że zachodzi dla każdego n.
Krok 3. Sprawdzasz, czy zachodzi dla n+1.

[Kaf]

Po co indukcja, jak można prościej?
\(\displaystyle{ 6 \equiv 1 \pmod{5}}\)
\(\displaystyle{ 6^{n-1} \equiv 1^{n-1} \equiv 1 \pmod{5}}\)
\(\displaystyle{ 6^{n-1}-1 \equiv 0 \pmod{5}}\)
\(\displaystyle{ 6\cdot(6^{n-1}-1) \equiv 6\cdot0 \pmod{5}}\)
\(\displaystyle{ 6^{n}-6 \equiv 0 \pmod{5}}\)

Co do tego, że każdy wyraz \(\displaystyle{ 6^n}\) kończy się na \(\displaystyle{ 6}\), to gdybyś to ładnie (patrz: poprawnie) uzasadnił i wyciągnął wniosek to byłby to dowód.

[mortan517]

Indukcja po to, bo w liceum nie uczą kongurencji, modulo itd.

[Kaf]

Zawsze można obrać tą drugą taktykę, którą napisałem w poście.

[dawid_c]

mortan517, jestem na pierwszym roku (studiów) i niestety nie potrafię przeprowadzić indukcji dla tego przykładu... :/ Mógłbyś mnie nauczyć?
Kaf, sposobu nr 1 niestety tym bardziej nie rozumiem. A w jaki sposób mógłbym "poprawnie" uzasadnić, że 6^50 ma 6 na końcu? Bo podejrzewam, że notatka "kalkulator tak wyliczył" nie spodoba się wykładowcy (szczególnie, że nie każdy kalkulator to policzy).

[mortan517]

Musisz ładnie ująć w słowa, że dla każdego \(\displaystyle{ n}\) liczba \(\displaystyle{ 6^n}\) ma jako cyfrę jedności \(\displaystyle{ 6}\), a po odjęciu \(\displaystyle{ 6}\) zostaje \(\displaystyle{ 0}\), więc liczba jest podzielna przez \(\displaystyle{ 5}\), a co do indukcji:

Krok 1
\(\displaystyle{ 5 | 6^1-6 = 6-6=0}\)
a jak wiemy \(\displaystyle{ 0}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 5}\)

Krok 2 (zakładamy, że dla każdego \(\displaystyle{ n}\), liczba \(\displaystyle{ 6^n-6}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 5}\).

Krok 3 (udowodnimy, że dla zachodzi to także dla \(\displaystyle{ n+1}\)
\(\displaystyle{ 6^{n+1}-6 = 6\cdot 6^n -6 = 5\cdot 6^n + (6^n -6) = 5\cdot 6^n + 5k = 5\cdot (6^n + k)}\)

Korzystamy tu z tego, że zgodnie z drugim krokiem indukcyjnym \(\displaystyle{ 5|6^n-6}\)

[Kaf]

Niech \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) będę liczbami naturalnymi i niech \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) oznaczają liczby stojące na ich pozycji jedności. Zauważmy, że cyfra jedności \(\displaystyle{ a\cdot b}\) jest taka sama jak cyfra jedności \(\displaystyle{ x\cdot y}\). Teraz zauważ, że \(\displaystyle{ 6\cdot 6=36}\) i skorzystaj z początkowej uwagi.

[Ponewor]

A dowód Twojego spostrzeżenia? (Bo właśnie robisz rozwiązanie z kongruencji, nie korzystając z kongruencji, bo po cichu przepychasz ich własności)

[Kaf]

Mnożeniem pisemnym albo ewentualnie przedstawiając \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) jako sumę iloczynów liczb oznaczająch ich cyfry i potęg dziesiątki i mnożąc te sumy przez siebie.

[dawid_c]

mortan517, co by się stało gdyby założenie z kroku 2 było błędne? Wyszła by sprzeczność w kroku 3?

[mortan517]

Tak.

[Kaf]

Zakładamy, że pewna liczba naturalna \(\displaystyle{ n}\) spełnia założenie (czyli ma jakąś właśność), i udowadniamy przy pomocy tego założenia tezę indukcyjną, czyli że liczba \(\displaystyle{ n+1}\) też ma tą własność.