Dowód niewymierności pierwiastka z liczby 2

[dwukwiat15]

Witam, mam problem z dowodem niewymierności pierwiastka z liczby 2. Stanąłem w jednym miejscu.
Oto mój tok rozumowania:

Zakładam, że prawdziwe jest stwierdzenie, że \(\displaystyle{ t^{2} = 2}\) przy czym
\(\displaystyle{ t = \frac{p}{q}}\), gdzie \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) są liczbami całkowitymi, oraz zakładamy, że
\(\displaystyle{ t}\) jest ułamkiem nieskracalnym.

No i teraz podnoszę do kwadratu:

\(\displaystyle{ \left( \frac{p}{q} \right)^{2} = 2 \Leftrightarrow p^{2} = 2\cdotq q^{2}}\) (1)

I teraz moja wątpliwość jest taka, czy na podstawie tego możemy stwierdzić, że \(\displaystyle{ p}\) jest liczbą parzystą? Prawdziwie jest twierdzenie mówiące, że jeżeli liczba \(\displaystyle{ a}\) jest parzysta
to \(\displaystyle{ a^{2}}\) też jest liczbą parzystą. Bo wiadomo, że jeżeli \(\displaystyle{ a = 2 \cdot r}\) to

\(\displaystyle{ a^{2} = 4 \cdot r^{2} = 2 \cdot (2 \cdot r^{2})}\) Jednak nie jest powiedziane, że to działa w drugą stronę.
Ale skąd mam mieć pewność, że w (1) \(\displaystyle{ p}\) jest parzysta? W książce którą czytam jest to dla autora oczywiste. Dla mnie nie. Podobno wynika to z podstawowego twierdzenia arytmetyki, które mówi, że Każdą liczbę naturalną większą od 1 można jednoznacznie przedstawić w postaci iloczynu liczb pierwszych.

Będę wdzięczny za wyjaśnienie problemu

[JakimPL]

Liczba jest parzysta wtedy i tylko wtedy, gdy dzieli się przez \(\displaystyle{ 2}\). Jeżeli \(\displaystyle{ a^2}\) jest parzysta, to znaczy, że w rozkładzie na czynniki pierwsze występuje \(\displaystyle{ 2}\). Ale jest to kwadrat liczby, więc automatycznie \(\displaystyle{ 4}\) również dzieli \(\displaystyle{ a^2}\), bo w rozkładzie każdy czynnik pierwszy jest w parzystej potędze. A to pozwala już stwierdzić, że \(\displaystyle{ 2}\) dzieli \(\displaystyle{ a}\) (można to rozpisać formalnie, jeżeli jest to potrzebne).

Innymi słowy, nie istnieje parzysta liczba naturalna postaci \(\displaystyle{ a^2}\), która nie byłaby podzielna przez \(\displaystyle{ 4}\). I dalej tak, jak napisałeś.

[dwukwiat15]

Napisałem u siebie na blogu o tym. Najłatwiej dla mnie jest rozumieć to dowodem nie wprost
... -liczby-2/
Jak coś nie tak napisałem co by się nie zgadzało to proszę o komentarze

[JakimPL]

Gdyby było Ci mało dowód niewymierności:

... stkaZ2.pdf