Mnożenie liczb naturalnych a mnożenie ułamków.

[yorgin]

Postawię hipotezę, że taka książka nie istnieje - matematyka jest zbyt bogata i różnorodna.

Trochę hipotezę osłabię - można zajrzeć do "Elementów". Wszak są to podstawy obejmujące wiedzę starożytną w sposób całkiem uporządkowany. Ale oczywiście niepełny, gdyż - i tu się zgodzę - nie istnieje książka w pełni opisująca podstawowe cegiełki matematyki.

To w takim razie jak inaczej można zbudować ułamki 9liczby wymierne) skoro każdy ułamek to inaczej dzielenie licznika przez mianownik.

Używając języka naukowego, ułamki definiuje się jako klasy równoważności ciała ułamków danego zbioru multiplikatywnego w pierścieniu przemiennym. Na takich obiektach definiuje się działania i sprawdza, że są one poprawnie określone. Dzięki temu można wykonywać operacje na ułamkach zgodne z przyjętą definicją i pokrywające się ze znanym schematem mnożenia ułamków liczb wymiernych/rzeczywistych.

Ułamki można zdefiniować również jako zbiór ilorazowy względem relacji na \(\displaystyle{ \ZZ\times \ZZ^*}\) względem pewnej relacji i znów zdefiniować działania na tym zbiorze tak, aby były dobrze określone i odpowiadały intuicji.

Także jeżeli myślisz o ułamku jako o obiekcie będącym wynikiem operacji dzielenia jednej wielkości na ileś równych części, to masz intuicję jaka każdemu człowiekowi wystarczy. Jeżeli jednak chcesz wiedzieć, czym jest ułamek z formalnego punktu widzenia, musisz wejść w wyższą matematykę. Chyba że ktoś zna elementarną definicję ułamka wolną od pojęć pierwotnych?

[Jan Kraszewski]

To w takim razie jak inaczej można zbudować ułamki 9liczby wymierne) skoro każdy ułamek to inaczej dzielenie licznika przez mianownik.

Tak jak .

JK

[Nasio]

To w takim razie jak inaczej można zbudować ułamki 9liczby wymierne) skoro każdy ułamek to inaczej dzielenie licznika przez mianownik.

Tak jak .

JK

,,Liczby wymierne – liczby, które można zapisać w postaci ilorazu dwóch liczb całkowitych"-taka definicja niby nie korzysta z definicji dzielenia?

[Jan Kraszewski]

,,Liczby wymierne – liczby, które można zapisać w postaci ilorazu dwóch liczb całkowitych"-taka definicja niby nie korzysta z definicji dzielenia?

Nie chodziło o definicję, tylko o konstrukcję, która zaczyna się od "Niech w zbiorze par...".

JK

[Nasio]

To jest konstrukcja nie dla mnie bo ja nie znam relacji równoważności ,a teraz postawię jedno bardzo ważne pytanie.
Czy "budowanie " matematyki i jakiejkolwiek dziedziny nauki nie powinno zaczynać się od pojęć podstawowych zrozumiałych dla każdego ,a ja jak chcę się czegoś dowiedzieć na temat podstaw matematyki to muszę znać jakieś klasy równoważności.Nie wiem co to jest ale pewnie zostało to oparte na podstawach matematyki ,podsumowując podstawy matematyki udowadniamy rozumowaniem matematyki bardziej rozwiniętej która z resztą została oparta na podstawach.Czy to nie jest co najmniej dziwne?

[yorgin]

Czy "budowanie " matematyki i jakiejkolwiek dziedziny nauki nie powinno zaczynać się od pojęć podstawowych zrozumiałych dla każdego

Tak też się robi.

a ja jak chcę się czegoś dowiedzieć na temat podstaw matematyki to muszę znać jakieś klasy równoważności.

Nie musisz.

Poza tym warto doprecyzować, co rozumiesz przez podstawy matematyki. Ja wykład o takiej nazwie robiłem na czwartym roku studiów awansem z piątego roku.

podsumowując podstawy matematyki udowadniamy rozumowaniem matematyki bardziej rozwiniętej która z resztą została oparta na podstawach.Czy to nie jest co najmniej dziwne?

Nie. My nie udowadniamy. My konstruujemy zbiory bazując na aksjomatycznej definicji zbioru liczb naturalnych oraz na logice i teorii mnogości, które to również posiadają swoje aksjomaty i pojęcia pierwotne. Z nich można budować kolejne cegiełki, takie jak relacje równoważności czy zbiory liczbowe.

Czym innym jest z kolei historyczne podejście do rozumienia liczb, a czym innym ścisła konstrukcja i definicja. Wiedziałeś na przykład, że liczby niewymierne pojawiły się prawie 2 tysiące lat przed powszechną akceptacją niby zwyczajnej liczby zero?

[Nasio]

Słowem temat jest nie dla mnie?Czy po studiach matematycznych moje wątpliwości zostaną rozwiane?

[yorgin]

Napiszę tak: po studiach matematycznych na pewno będzie łatwiej to wszystko zrozumieć. Ale czy w pełni? Na to pytanie tylko Ty możesz odpowiedzieć. Niezależnie od studiów zawsze możesz sięgnąć po książki i pliki, które podałem wiele postów wcześniej. Wymienione książki nie wymagają studiów matematycznych do ich zrozumienia.

[Nasio]

Dzięki.

[matmatmm]

Wtrącę się do dyskusji. Zamiast konstruować kolejno liczby całkowite, wymierne i rzeczywiste z liczb naturalnych można od razu zadać liczby rzeczywiste aksjomatycznie. Będą to wszystkie aksjomaty ciała uporządkowanego oraz aksjomat ciągłości. Z tych aksjomatów można wyprowadzić, że \(\displaystyle{ \frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}}\). Różnica w tym podejściu jednak jest zasadnicza, gdyż podstawowe własności dodawania i mnożenia mamy od razu i na przykład mnożenie liczb naturalnych nie jest definiowane jako
\(\displaystyle{ m\cdot n =\underbrace{m+\ldots+m}_{n}}\).
W tym podejściu w ogóle trzeba najpierw zdefiniować liczby naturalne oraz udowodnić zasadę indukcji matematycznej tak by możliwe było takie definiowanie (trzy kropki w matematyce nic nie znaczą- są skrótowym zapisem pewnej rzeczy zdefiniowanej indukcyjnie). Kiedy już to zrobimy, to można pokazać, że działania zdefiniowane indukcyjne na liczbach naturalnych pokryją się z tymi zadanymi aksjomatami.

W którymś poście Nasio pytał, czemu przy mnożeniu ułamków mnożymy licznik razy licznik i mianownik razy mianownik i podał przytoczoną przeze mnie definicję mnożenia. Rzecz w tym, że ta definicja obejmuje tylko liczby naturalne, a my musimy mieć powiedziane co znaczy mnożyć dowolne liczby. Rozwiązaniem jest albo zadanie aksjomatycznie mnożenia liczb rzeczywistych albo zadanie reguły mnożenia ułamków z definicji i następnie też z definicji zadanie reguły mnożenia liczb rzeczywistych (przykładową definicją liczby rzeczywistej i mnożenia liczb rzeczywistych jest ta podana przez Yorgina).