Mnożenie liczb naturalnych a mnożenie ułamków.

[Nasio]

Chciałbym się dowiedzieć dlaczego na mnożenie liczb i mnożenie ułamków są dwie różne definicje skąd mam wiedzieć że zasada mnożenia lub dzielenia ułamków jest słuszna.Proszę o rozjaśnienie sytuacji lub o podanie odpowiednich dowodów.

[piasek101]

Nie ma liczb które nie są ułamkami - zatem jest jedna definicja - a definicji nie udowadniamy.

[Nasio]

\(\displaystyle{ a \cdot b = c}\)

Liczby, które mnożymy nazywamy czynnikami (\(\displaystyle{ a, b}\)), wynik mnożenia to iloczyn (\(\displaystyle{ c}\)). Mnożenie oznaczamy symbolem kropki \(\displaystyle{ \cdot}\), czasami w miejsce kropki używa się znaku krzyżyka \(\displaystyle{ \times}\).
Mnożenie liczb jest rozszerzeniem dodawania dla liczb naturalnych, określonego jako: \(\displaystyle{ a \cdot b = a + a + ... + a}\), gdzie \(\displaystyle{ a}\) występuje \(\displaystyle{ b}\) razy. Mnożenie jest więc dodawaniem tych samych składników.
Ja znalazłem taką definicję mnożenia. Proszę o pokazanie jak z tej definicji dojść do zasad znanych nam przy mnożeniu ułamków.

[piasek101]

To jest definicja ograniczona do liczb całkowitych (może nawewt naturalnych) - więc zawężona i ona wynika z tej bardziej rozszerzonej - dla wszystkich liczb rzeczywistych. I oczywistym jest (dla mnie), że z bardziej ogólnej wynika ta zawężona.

[Nasio]

To jak wygląda to ogólna definicja mnożenia dla liczb rzeczywistych?

[piasek101]

Wpisz w google - wyskoczy (piszę z TV i kopiować linki ciężko).

[yorgin]

Jeżeli \(\displaystyle{ a, b\in \RR}\), to \(\displaystyle{ a\cdot b:=[a]\cdot ,}\) gdzie \(\displaystyle{ [a]=\{(a_n)\subset \QQ^\NN:a_n\to a\}}\) oraz \(\displaystyle{ =\{(b_n)\subset \QQ^\NN:b_n\to b\}}\) i działanie \(\displaystyle{ [a]\cdot }\) jest zdefiniowane następująco: \(\displaystyle{ [a]\cdot =\lim\limits_{n\to\infty}(a_n\cdot b_n)}\). Działanie \(\displaystyle{ a_n\cdot b_n}\) jest działaniem na liczbach wymiernych, a więc możemy je wykonać.

Pomijałem przy klasach oznaczenie relacji: \(\displaystyle{ (a_n)\mathcal{R}(b_n)\iff \lim a_n=\lim b_n}\). Klasę ciągu \(\displaystyle{ [(a_n)]}\) oznaczam przez \(\displaystyle{ [a]}\), gdzie \(\displaystyle{ a=\lim a_n}\).

[Nasio]

Można jakoś jaśniej?

[yorgin]

To jest przejrzysta definicja. Może nie do końca wypisałem wszystko we właściwej kolejności, ale pisałem z głowy.

Co do jasności - rozumiesz, czym są relacje? Granica ciągu? Klasy równoważności?

[Nasio]

Wiem co to jest granica ciągu natomiast klasy równoważności są mi całkowicie obce.

[yorgin]

To spróbuję słownie.

1. Każda liczba rzeczywista jest granicą pewnego ciągu liczb wymiernych (prosty fakt z analizy).

2. Istnieje dużo takich ciągów zbieżnych do danej liczby rzeczywistej. Nas interesuje tylko jeden.

3. Weźmy teraz dwie liczby rzeczywiste. Każde są granicami jakichś ciągów liczb wymiernych.

4. Powiemy, że iloczynem tych liczb jest granica ciągu złożonego z iloczynów kolejnych wyrazów ciągu. Z arytmetyki granic wiemy wszak, że \(\displaystyle{ \lim(a_n\cdot b_n)=\lim a_n \cdot\lim b_n}\) o ile obie granice istnieją i są skończone. A taka jest nasza sytuacja.

5. Wiemy już, jak interpretować iloczyn - jako granicę iloczynów. Ale pozostaje pytanie, czy potrafimy mnożyć liczby wymierne. Odpowiedź jest pozytywna, gdyż jest to takie samo mnożenie, jak dla liczb naturalnych/całkowitych - licznik i mianownik razy mianownik.

[Nasio]

Ok rozumiem już tą definicję ,ale załóżmy na przykład ,że granicami ciągów \(\displaystyle{ a_n}\) i \(\displaystyle{ b_n}\) będą ułamki właściwe, a z samej definicji mnożenia (bez znaczenia czy tej którą ty podałeś dla liczb rzeczywistych czy tą co ja podałem dla liczb całkowitych) nie da się wydedukować jak mamy mnożyć ułamki.(przynajmniej ja tego nie potrafię).

[yorgin]

\(\displaystyle{ \frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}:=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}}\). Z czym tu masz problem? Mnożyć liczby całkowite chyba potrafisz?

[Nasio]

Nie o to mi chodzi wiem jak się mnoży ułamki ale chodzi mi o to skąd to wynika bo nie widzę analogi z definicji mnożenia.Ktoś kiedyś przecież musiał ustanowić zasady mnożenia ułamków pytanie na czym je oparł.

[yorgin]

Jeżeli chcesz wchodzić w takie szczegóły, to sięgnij po porządną książkę do historii matematyki. Działania na liczbach wymiernych ugruntowano jeszcze w starożytności (o ile mnie pamięć nie myli).

Uwaga własna:    

Prawdopodobnie opierano się na zasadzie mnożenia i dzielenia przez liczby całkowite. W końcu każde mnożenie liczb wymiernych można zamienić na mnożenie i dzielenie przez siebie liczb całkowitych. Innymi słowy,
\(\displaystyle{ \frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}=(a\cdot c):(b\cdot d)}\)

-- 11 listopada 2013, 17:50 --

Chciałbym się dowiedzieć dlaczego na mnożenie liczb i mnożenie ułamków są dwie różne definicje

Możesz obie definicje przytoczyć w sposób pełny? Dyskutujemy o mnożeniu a nawet nie jesteś skłonny się podzielić znaną Tobie definicją.