Mnożenie liczb naturalnych a mnożenie ułamków.

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Nasio
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 34
Rejestracja: 20 wrz 2013, o 23:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biała Podlaska

Mnożenie liczb naturalnych a mnożenie ułamków.

Post autor: Nasio »

Definicję mnożenia którą ja znam to:
\(\displaystyle{ a \cdot b = c}\)

Liczby, które mnożymy nazywamy czynnikami (\(\displaystyle{ a, b}\)), wynik mnożenia to iloczyn (\(\displaystyle{ c}\)). Mnożenie oznaczamy symbolem kropki \(\displaystyle{ \cdot}\), czasami w miejsce kropki używa się znaku krzyżyka \(\displaystyle{ \times}\).
Mnożenie liczb jest rozszerzeniem dodawania dla liczb naturalnych, określonego jako: \(\displaystyle{ a \cdot b = a + a + ... + a}\), gdzie \(\displaystyle{ a}\) występuje \(\displaystyle{ b}\) razy. Mnożenie jest więc dodawaniem tych samych składników.

Podałem ją w moim drugim komentarzu ,a jeśli chodzi o drugą definicję to jej nie podałem bo jej nie ma. To co udało mi się znaleźć to tłumaczenia jak to się robi.Przyznam, że zapis który podałeś jest bardzo fajny. Jeśli możesz to poleć jakąś fajną książkę o historii matematyki.
Ostatnio zmieniony 12 lis 2013, o 01:23 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Mnożenie liczb naturalnych a mnożenie ułamków.

Post autor: yorgin »

Nasio pisze:a jeśli chodzi o drugą definicję to jej nie podałem bo jej nie ma. To co udało mi się znaleźć to tłumaczenia jak to się robi.
Każde działanie można zdefiniować w oparciu o odpowiednią aksjomatykę, począwszy od operacji na liczbach naturalnych. W zależności od późniejszego kierunku konstrukcji działania definiuje się w różny, ale równoważny sposób (działania na liczbach rzeczywistych można równie dobrze zdefiniować za pomocą przekrojów Dedekinda).
Nasio pisze: Przyznam ,że zapis który podałeś jest bardzo fajny.Jeśli możesz to poleć jakąś fajną książkę o historii matematyki.
Ian Stewart. Oswajanie nieskończoności. Historia matematyki.

Marek Kordos. Wykłady z historii matematyki.

W pigułce - .

Ogólnodostępny pdf - . W szczególności na samym końcu jest bardzo formalny dowód tego, że \(\displaystyle{ 1+1=2}\).
Nasio
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 34
Rejestracja: 20 wrz 2013, o 23:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biała Podlaska

Mnożenie liczb naturalnych a mnożenie ułamków.

Post autor: Nasio »

Dzięki bardzo za pomoc.Ten zapis który podałeś sporo wyjaśnia ,ale zauważ że samej definicji twojej czy mojej to nie wynika.
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Mnożenie liczb naturalnych a mnożenie ułamków.

Post autor: yorgin »

Pozostaje kwestia zrozumienia, czym jest liczba wymierna. Można ją definiować znów na wiele sposobów albo można też działać intuicyjnie. Ale to już temat na zupełnie inną dyskusję.
Nasio
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 34
Rejestracja: 20 wrz 2013, o 23:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biała Podlaska

Mnożenie liczb naturalnych a mnożenie ułamków.

Post autor: Nasio »

I tym optymistycznym akcentem zakończmy dyskusję.Jeszcze raz dzięki.
Naed Nitram
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 121
Rejestracja: 8 paź 2013, o 17:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hd
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 44 razy

Mnożenie liczb naturalnych a mnożenie ułamków.

Post autor: Naed Nitram »

Dwie różne definicje, bo to dwie różne operacje. Wygodną konwencją jest przyjęcie takiej definicji mnożenia liczb wymiernych, żeby obcięta do liczb całkowitych działała jak należy i taką definicję mnożenia liczb rzeczywistych, żeby działała na wymiernych. Ale to tylko konwencja.

Historycznie chodzi o dwa różne zagadnienia:

Ilu żołnierzy stoi w falandze o n kolumnach i k wierszach?

Ile pszenicy zasiejemy na prostokątnym polu, którego długość to n a szerokość to k?

Po wykonaniu zabiegu polegającego na (odpowiednim) wyborze jednostki można zauważyć (następnie sformalizować) analogię pomiędzy tymi zagadnieniami.
Nasio
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 34
Rejestracja: 20 wrz 2013, o 23:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biała Podlaska

Mnożenie liczb naturalnych a mnożenie ułamków.

Post autor: Nasio »

Skoro to są dwie różne operacja to dlaczego obie operacje (mnożenie ułamków i mnożenie liczb całkowitych) nazywamy mnożeniem.
Naed Nitram
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 121
Rejestracja: 8 paź 2013, o 17:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hd
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 44 razy

Mnożenie liczb naturalnych a mnożenie ułamków.

Post autor: Naed Nitram »

Z tych samych przyczyn, dla których Mickiewicza i Słowackiego nazywamy poetami.
Ostatnio zmieniony 12 lis 2013, o 01:24 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34128
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Mnożenie liczb naturalnych a mnożenie ułamków.

Post autor: Jan Kraszewski »

Nasio pisze:Skoro to są dwie różne operacja to dlaczego obie operacje (mnożenie ułamków i mnożenie liczb całkowitych) nazywamy mnożeniem.
Jak już chcesz bardzo formalnie, to z liczb naturalnych konstruujesz liczby wymierne dodatnie przy pomocy odpowiedniej relacji równoważności definiujesz mnożenie tych liczb przy pomocy mnożenia liczb naturalnych dbając o to, by zachowana była zgodność obu mnożeń na liczbach naturalnych.

Wtedy to nie są dwie różne operacje, bo jedna jest rozszerzeniem drugiej.

JK
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Mnożenie liczb naturalnych a mnożenie ułamków.

Post autor: yorgin »

Naed Nitram pisze:Z tych samych przyczyn, dla których Mickiewicza i Słowackiego nazywamy poetami.
Mnie by to przekonało
Jan Kraszewski pisze: Jak już chcesz bardzo formalnie, to z liczb naturalnych konstruujesz liczby wymierne dodatnie przy pomocy odpowiedniej relacji równoważności definiujesz mnożenie tych liczb przy pomocy mnożenia liczb naturalnych dbając o to, by zachowana była zgodność obu mnożeń na liczbach naturalnych.

Wtedy to nie są dwie różne operacje, bo jedna jest rozszerzeniem drugiej.
Ja mógłbym o tym pisać wyżej, ale autor tematu nie zna niestety relacji równoważności ani klas abstrakcji, więc podarowałem. A ten zwięzły opis - tu uwaga do autora - jest chyba najbardziej klasyczną metodą konstruowania zbiorów liczbowych oraz definiowania wszystkich działań na nich.
Naed Nitram
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 121
Rejestracja: 8 paź 2013, o 17:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hd
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 44 razy

Mnożenie liczb naturalnych a mnożenie ułamków.

Post autor: Naed Nitram »

Przy czym warto zauważyć, że nie ma jedynego słusznego sposobu rozszerzania operacji. To, jak rozszerzamy, zależy od tego, jak zamierzamy rozszerzenie stosować. Gdyby np. ludzie byli nieco wrażliwsi na efekty kwantowe (w przeciwieństwie do potrzeby znajomości ilości pszenicy do zasiania), mogłoby się okazać, że wygodniejsze rozszerzenie mnożenia z liczb naturalnych na (uogólnione) ułamki byłoby dane wzorem:

\(\displaystyle{ \frac ab\cdot\frac cd=\frac{ac+bd}{ad+bc}}\).

gdzie liczby naturalne utożsamiamy z ułamkami według \(\displaystyle{ n\mapsto\frac n0}\).

Jeśli chcemy, by ułamki miały strukturę ciała, to nie ma wyboru. Tym niemniej mnożenie z ciała \(\displaystyle{ \QQ}\) można nieizomorficznie rozszerzyć na różne uzupełnienia/domknięcia algebraiczne \(\displaystyle{ \QQ}\), co czasami może okazać się o wiele lepszym mnożeniem.
Nasio
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 34
Rejestracja: 20 wrz 2013, o 23:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biała Podlaska

Mnożenie liczb naturalnych a mnożenie ułamków.

Post autor: Nasio »

Ok rozumiem ale "wydaje" mi się że do skonstruowania definicji mnożenia obejmującej mnożenie liczb całkowitych orz liczb wymiernych potrzebna jest definicja dzielenia.Czyli formalnie:
\(\displaystyle{ a\div b=a \cdot b ^{-1}= \frac{a}{b}}\)
wtedy \(\displaystyle{ (a \cdot b)\div(c \cdot d)= \frac{a \cdot b}{c \cdot d}= \frac{a}{c} \cdot \frac{b}{d}}\)
Czy to jest dobre rozumowanie?

PS.Jestem na studiach inżynierskich i u nas matematyka ogranicza się do jej praktycznych zastosowań.Dowody matematyczne są tylko wspomniane albo wcale ich nie ma.Czy mógłby mi ktoś polecić książkę gdzie byłyby pokazane wszystkie podstawowe dowody oraz definicje na których zbudowana została matematyka.
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Mnożenie liczb naturalnych a mnożenie ułamków.

Post autor: yorgin »

Dzielenie to nic innego jak mnożenie przez element odwrotny. Czyli właśnie \(\displaystyle{ \frac{a}{b}:=a\cdot b^{-1}}\). Tak samo jak odejmowanie to dodawanie liczby przeciwnej. Przy takim zapisie można oczywiście teraz łatwo zapisać:

\(\displaystyle{ (ab^{-1})\cdot (cd^{-1})=\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}:=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}=ac\cdot (cd)^{-1}=abd^{-1}c^{-1}}\).
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34128
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Mnożenie liczb naturalnych a mnożenie ułamków.

Post autor: Jan Kraszewski »

Nasio pisze:Ok rozumiem ale "wydaje" mi się że do skonstruowania definicji mnożenia obejmującej mnożenie liczb całkowitych orz liczb wymiernych potrzebna jest definicja dzielenia.
Nie. Konstruując liczby wymierne dodatnie z liczb naturalnych nie umiesz dzielić.
Nasio pisze:Czy mógłby mi ktoś polecić książkę gdzie byłyby pokazane wszystkie podstawowe dowody oraz definicje na których zbudowana została matematyka.
Postawię hipotezę, że taka książka nie istnieje - matematyka jest zbyt bogata i różnorodna.

JK
Nasio
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 34
Rejestracja: 20 wrz 2013, o 23:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biała Podlaska

Mnożenie liczb naturalnych a mnożenie ułamków.

Post autor: Nasio »

To w takim razie jak inaczej można zbudować ułamki 9liczby wymierne) skoro każdy ułamek to inaczej dzielenie licznika przez mianownik.
ODPOWIEDZ