Potęgi o tej samej podstawie - dowód

[nne]

Mam udowodnić \(\displaystyle{ x^n x^m = x^{n+m}}\) dla \(\displaystyle{ x \in \RR}\) i \(\displaystyle{ n, m \in \ZZ}\) przy czym \(\displaystyle{ x \not =0}\) jeśli \(\displaystyle{ n < 0}\) lub \(\displaystyle{ m < 0}\). Potęga jest zdefiniowana rekursywnie.

Mój pomysł polega na tym, żeby udowodnić
1) \(\displaystyle{ n \ge 0}\), \(\displaystyle{ m}\) dowolne, za pomocą indukcji po \(\displaystyle{ n}\).
2) \(\displaystyle{ m \ge 0}\), \(\displaystyle{ n}\) dowolne, za pomocą indukcji po \(\displaystyle{ m}\).

3) Teraz brakuje tylko przypadku \(\displaystyle{ n,m <0}\), wiec \(\displaystyle{ n =: -k}\), \(\displaystyle{ m =: -l}\) i otrzymuję \(\displaystyle{ x^n x^m = x^{-k} x^{-l} = (x^{-1})^k (x^{-1})^l = (x^{-1})^{k+l} = x^{-(k+l)} = x^{-k+(-l)} = x^{n+m}}\).

W książce mam podpowiedź
1) \(\displaystyle{ n \ge 0, m \ge 0}\)
2) \(\displaystyle{ n > 0}\) i \(\displaystyle{ m = -k}\) dla \(\displaystyle{ 0 < k \le n}\), którą nie do końca rozumiem.

(Mam nadzieję, że jestem w dobrym dziale.)