kwadrat liczby naturalnej

[into5]

Mam takie zadanie. Udowodnij, że liczba 4k+2 nie może być kwadratem liczby naaturalnej
Rozważyłem dwa przypadki, dla n parzystych i nieparzystych. Wyszło mi coś takiego:

\(\displaystyle{ (4s)^2= 16s^2= 4*4s^2 + 0


(4s+1)^2= 4(4s^2+2s) +1



(4s+2)^2=4(4s^2+4s+1) + 0}\)


Czyli wychodzi, że w ostatnim wyszła reszta 0 i może być kwadratem l. naturalnej. Czy mógłby ktoś powiedzieć co robię źle?

[kalwi]

w złą stronę idziesz. powinieneś wziąć pierwiastek, a nie podnieść do kwadratu

[into5]

nie bardzo rozumiem co to da, mógłbyś wyjaśnić?

[Premislav]

To może ja wyjaśnię: podnosisz tę liczbę naturalną do kwadratu, po czym oczekujesz, że to, co otrzymałeś, nie będzie kwadratem liczby naturalnej. Nie wydaje Ci się to podejrzane?
Co do rozwiązania, możesz wykazać, że każda liczba naturalna parzysta będąca kwadratem liczby naturalnej dzieli się przez \(\displaystyle{ 4}\), tak chyba najłatwiej.

[Zahion]

A może po prostu...
Załóżmy, że istnieje dana liczba, oznaczmy ją jako \(\displaystyle{ a}\). Mamy więc, że zachodzi
\(\displaystyle{ 4k + 2 = a ^{2}}\) czyli \(\displaystyle{ 2(2k + 1) = a ^{2}}\). Liczba \(\displaystyle{ a}\) musi być więc parzysta stąd istnieje taka liczba \(\displaystyle{ s}\), że \(\displaystyle{ a = 2s}\) mamy więc, że zachodzi
\(\displaystyle{ 2(2k + 1) = 4s ^{2}}\) czyli \(\displaystyle{ 2k + 1 = 2s ^{2}}\). Lewa strona jest nieparzysta natomiast prawa jest parzysta. Sprzeczność dowodzi tezy.

[mariusz2409]

nie może być, ponieważ \(\displaystyle{ 4k+2=2(2k+1)}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 2}\) a niepodzielne przez \(\displaystyle{ 4}\), bo \(\displaystyle{ 2k+1}\) jest liczbą nieparzystą

[into5]

Dzięki, już rozumiem co robiłem źle
Spróbuję analogicznie zrobić dla 4k+3.

4k+3:
\(\displaystyle{ 2(2k+1)+1=a^2

2(2k+1)+1=(2a+1)^2

2(2k+1)=4(a^2+a)

2k+1=2(s^2+s)}\)
sprzeczność, czy tak to należało zrobić?