Mam takie zadanie. Udowodnij, że liczba 4k+2 nie może być kwadratem liczby naaturalnej
Rozważyłem dwa przypadki, dla n parzystych i nieparzystych. Wyszło mi coś takiego:
\(\displaystyle{ (4s)^2= 16s^2= 4*4s^2 + 0
(4s+1)^2= 4(4s^2+2s) +1
(4s+2)^2=4(4s^2+4s+1) + 0}\)
Czyli wychodzi, że w ostatnim wyszła reszta 0 i może być kwadratem l. naturalnej. Czy mógłby ktoś powiedzieć co robię źle?
kwadrat liczby naturalnej
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
kwadrat liczby naturalnej
To może ja wyjaśnię: podnosisz tę liczbę naturalną do kwadratu, po czym oczekujesz, że to, co otrzymałeś, nie będzie kwadratem liczby naturalnej. Nie wydaje Ci się to podejrzane?
Co do rozwiązania, możesz wykazać, że każda liczba naturalna parzysta będąca kwadratem liczby naturalnej dzieli się przez \(\displaystyle{ 4}\), tak chyba najłatwiej.
Co do rozwiązania, możesz wykazać, że każda liczba naturalna parzysta będąca kwadratem liczby naturalnej dzieli się przez \(\displaystyle{ 4}\), tak chyba najłatwiej.
-
- Moderator
- Posty: 2095
- Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
- Podziękował: 139 razy
- Pomógł: 504 razy
kwadrat liczby naturalnej
A może po prostu...
Załóżmy, że istnieje dana liczba, oznaczmy ją jako \(\displaystyle{ a}\). Mamy więc, że zachodzi
\(\displaystyle{ 4k + 2 = a ^{2}}\) czyli \(\displaystyle{ 2(2k + 1) = a ^{2}}\). Liczba \(\displaystyle{ a}\) musi być więc parzysta stąd istnieje taka liczba \(\displaystyle{ s}\), że \(\displaystyle{ a = 2s}\) mamy więc, że zachodzi
\(\displaystyle{ 2(2k + 1) = 4s ^{2}}\) czyli \(\displaystyle{ 2k + 1 = 2s ^{2}}\). Lewa strona jest nieparzysta natomiast prawa jest parzysta. Sprzeczność dowodzi tezy.
Załóżmy, że istnieje dana liczba, oznaczmy ją jako \(\displaystyle{ a}\). Mamy więc, że zachodzi
\(\displaystyle{ 4k + 2 = a ^{2}}\) czyli \(\displaystyle{ 2(2k + 1) = a ^{2}}\). Liczba \(\displaystyle{ a}\) musi być więc parzysta stąd istnieje taka liczba \(\displaystyle{ s}\), że \(\displaystyle{ a = 2s}\) mamy więc, że zachodzi
\(\displaystyle{ 2(2k + 1) = 4s ^{2}}\) czyli \(\displaystyle{ 2k + 1 = 2s ^{2}}\). Lewa strona jest nieparzysta natomiast prawa jest parzysta. Sprzeczność dowodzi tezy.
-
- Użytkownik
- Posty: 81
- Rejestracja: 4 maja 2013, o 13:34
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 5 razy
kwadrat liczby naturalnej
nie może być, ponieważ \(\displaystyle{ 4k+2=2(2k+1)}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 2}\) a niepodzielne przez \(\displaystyle{ 4}\), bo \(\displaystyle{ 2k+1}\) jest liczbą nieparzystą
kwadrat liczby naturalnej
Dzięki, już rozumiem co robiłem źle
Spróbuję analogicznie zrobić dla 4k+3.
4k+3:
\(\displaystyle{ 2(2k+1)+1=a^2
2(2k+1)+1=(2a+1)^2
2(2k+1)=4(a^2+a)
2k+1=2(s^2+s)}\)
sprzeczność, czy tak to należało zrobić?
Spróbuję analogicznie zrobić dla 4k+3.
4k+3:
\(\displaystyle{ 2(2k+1)+1=a^2
2(2k+1)+1=(2a+1)^2
2(2k+1)=4(a^2+a)
2k+1=2(s^2+s)}\)
sprzeczność, czy tak to należało zrobić?