Witam
Przejdę od razu do meritum.
Męczę się ostatnio nad zadaniem:
Niech \(\displaystyle{ \alpha}\) będzie liczbą niewymierną.
Pokaż, że dla dowolnego \(\displaystyle{ \epsilon>0}\) istnieje taka liczba całkowita dodatnia \(\displaystyle{ n}\), że \(\displaystyle{ \{\alpha n\} < \epsilon}\). (Gdzie \(\displaystyle{ \{x\}}\) oznacza mantysę liczby \(\displaystyle{ x}\).)
Wyprowadź z tego wniosek, że w dowolnym przedziale \(\displaystyle{ (a,b)}\) zawartym w \(\displaystyle{ \left\langle 0;1 \right\rangle}\) znajduje się nieskończenie wiele liczb postaci \(\displaystyle{ \{\alpha n\}}\).
Próbowałem zasadą szufladkową Dirichleta udowodnić, ale nie potrafię tego doprowadzić do końca... Brak doświadczenia...
Pierw buduję odcinki o długości mniejszej, niż \(\displaystyle{ \epsilon}\) , a potem zakładam istnienie dwóch różnych liczb o postaci \(\displaystyle{ \{\alpha n\}}\), których różnica w module jest mniejsza, niż \(\displaystyle{ \epsilon}\), z czego już łatwo pokazać istnienie szukanej liczby. Ale pojawia mi się problem jak udowodnić istnienie takich dwóch liczb.
Ma ktoś jakiś pomysł jak to ugryźć? Oraz jak następnie z tego wyprowadzić dany wniosek?
