Kresy zbioru liczb pierwszych

gardner · Post autor: **gardner** » 1 lis 2013, o 17:35

Kresem dolnym zbioru liczb pierwszych będzie liczba \(\displaystyle{ 2}\). Co z kresem górnym? Wiem, że go nie ma ale nie wiem jak udowodnić. Przypuśćmy, że liczba \(\displaystyle{ p_{x}}\) jest największą liczbą pierwszą. Jeżeli dodam do niej \(\displaystyle{ 1}\) powstanie kolejna liczba (pierwsza bądź złożona). Jeżeli pierwsza to od razu wychodzi sprzeczność z tym, że największa l.pierwsza istnieje. Co jeśli złożona?

bartek118 · Post autor: **bartek118** » 1 lis 2013, o 17:40

Wystarczy udowodnić, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele - jest to bardzo dobrze znany fakt. Ponieważ jest to nieskończony podzbiór liczb naturalnych, to kresem górnym jest \(\displaystyle{ +\infty}\).

gardner · Post autor: **gardner** » 1 lis 2013, o 17:53

Jakaś wskazówka jak to zrobić?

bartek118 · Post autor: **bartek118** » 1 lis 2013, o 18:01

Dowód, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele? Gdyby było ich skończenie wiele, tj. \(\displaystyle{ \{ p_1, \ldots , p_k \}}\), to wówczas \(\displaystyle{ p_1 \cdot \ldots \cdot p_k + 1}\) nie jest podzielna przez żadną z nich, więc jest pierwsza, ale nie ma jej w tym zbiorze - sprzeczność.

mieszkoy · Post autor: **mieszkoy** » 1 gru 2013, o 18:33

Podpisano: Euklides z Aleksandrii