Kłopotliwe równanie

[asign123]

Witam
Chciałbym poprosić o pomoc w rozwiązaniu równiania .. może nie od razu rozwiązanie tylko wskazówka, jak nie ogarne rozwiazania ze wskazówka to wtedy bym prosił o rozwiazanie .

Podaj wszystkie liczby całkowite x i y spełniające warunek
\(\displaystyle{ 4x^2 - xy = -2}\)

[yorgin]

Wyłącz \(\displaystyle{ x}\) przed nawias po lewej stronie.

[asign123]

wyszło mi że

\(\displaystyle{ x= \frac{-2}{4x - y}}\)
oraż że \(\displaystyle{ 4x-y = \frac{-2}{x}}\)

Co dalej ?

[yorgin]

Nie tak. Zapisz

\(\displaystyle{ x(4x-y)=-2}\)

Wynik jest całkowity, szukamy rozwiązań w zbiorze liczb całkowitych, więc \(\displaystyle{ x}\) oraz \(\displaystyle{ 4x-y}\) są całkowite. Jakie mogą być możliwe wartości tych czynników? (patrz dzielniki \(\displaystyle{ -2}\)).

[asign123]

Wyszły mi możliwości x
\(\displaystyle{ 1, -1, 2, -2}\)
i y
\(\displaystyle{ 1,-1,2,-2,4,-4,8,-8,16,-16}\)

Dobrze ?

[AndrzejK]

Musisz przedstawić liczbę \(\displaystyle{ -2}\) jako iloczyn dwóch liczb całkowitych, masz więc takie możliwości:
\(\displaystyle{ -2 = -1 \cdot 2 \\
-2 = 1 \cdot (-2) \\
-2 = -2 \cdot 1 \\
-2 = 2 \cdot (-1)}\)
Z tego masz 4 przypadki
\(\displaystyle{ x=-1 \wedge (4x-y)=2 \Leftrightarrow y=-6\\
x=1 \wedge (4x-y)=-2 \Leftrightarrow y=6 \\
x=-2 \wedge (4x-y)=1 \Leftrightarrow y=-9\\
x=2 \wedge (4x-y)=-1 \Leftrightarrow y=9}\)
Rozwiązaniem są więc pary liczb \(\displaystyle{ (x,y) = (-1,-6) \vee (1,6) \vee (-2,-9) \vee (2,9)}\).