pierwiastek z liczby nie będącej kwadratem liczby naturalnej

[TedMosby]

Wykazać, że jeżeli liczba naturalna \(\displaystyle{ p}\) nie jest kwadratem liczby naturalnej, to \(\displaystyle{ \sqrt{p}}\) jest liczba niewymierna.

Jak zabrać się za to zadanie?

[Ponewor]

Dowód nie wprost.

[TedMosby]

Dowód nie wprost.

Przypuszę, że jeśli p nie jest kwadratem liczby naturalnej \(\displaystyle{ \sqrt{p}}\) jest liczbą wymierną.

a więc \(\displaystyle{ \sqrt{p}}\) mogę zapisać w postaci frac{a}{b}, gdzie

a, b

należą do zbioru liczb całkowitych i\(\displaystyle{ b}\) nie może być \(\displaystyle{ 0}\).

Tylko w takim przypadku chyba idę w złym kierunku?
\(\displaystyle{ \sqrt{p} = \frac{a}{b}

\sqrt{p} b = a

p b ^{2} = a ^{2}}\)
Zgubiłem się

[Ponewor]

Popatrz na dzielniki pierwsze liczb \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\).

[TedMosby]

Popatrz na dzielniki pierwsze liczb \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\).

Nie rozumiem :C. Można wytłumaczyć jak to zrobić bardzo prostym językiem, bo naprawdę sporo się głowię, ale nic mi z tego nie wychodzi.

[gogo_2]

Zobacz sobie jak się dowodzi niewymierność np \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) i postępuj podobnie

[TedMosby]

Zobacz sobie jak się dowodzi niewymierność np \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) i postępuj podobnie

W dowodzie na niewymierność \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) wykorzystuje się parzystość liczb(znam tylko taki dowód). Tutaj nie widzę tej parzystości.

[Ponewor]

Weź jakieś rozkłady liczb \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\). Co możemy powiedzieć o dzielnikach pierwszych \(\displaystyle{ b}\) i co wiemy o wykładnikach z jakimi występują?

[matmatmm]

Inny dowód można przeprowadzić w oparciu o twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych.

[Enigmus]

Ja natomiast bym to udowodnił opierając się prostym twierdzeniu:
Jeśli przy naturalnym dodatnim \(\displaystyle{ m}\), liczba naturalna dodatnia \(\displaystyle{ a}\) jest \(\displaystyle{ m}\)-tą potęga liczby wymiernej, to jest też \(\displaystyle{ m}\)-tą potęgą liczby naturalnej.

[Vax]

Ja natomiast bym to udowodnił opierając się prostym twierdzeniu:
Jeśli przy naturalnym dodatnim \(\displaystyle{ m}\), liczba naturalna dodatnia \(\displaystyle{ a}\) jest \(\displaystyle{ m}\)-tą potęga liczby wymiernej, to jest też \(\displaystyle{ m}\)-tą potęgą liczby naturalnej.

Załóżmy tezę i zauważmy, że wtedy teza zachodzi.

[Enigmus]

Ja natomiast bym to udowodnił opierając się prostym twierdzeniu:
Jeśli przy naturalnym dodatnim \(\displaystyle{ m}\), liczba naturalna dodatnia \(\displaystyle{ a}\) jest \(\displaystyle{ m}\)-tą potęga liczby wymiernej, to jest też \(\displaystyle{ m}\)-tą potęgą liczby naturalnej.

Załóżmy tezę i zauważmy, że wtedy teza zachodzi.

Nie sądzę.
Gdyż mamy, że \(\displaystyle{ p}\) nie jest kwadratem liczby naturalnej, a stosując twierdzenie wnioskujemy, że nie jest też wymiernej w ogóle, przez co pierwiastek kwadratowy z tej liczby nie może być wymierny, czyli jest niewymierny. QED

A nawet jeśli popełniam błąd jaki napisałeś, to stwierdzam wtedy równoważność tych zdań, a nie widzę trudności w udowodnieniu tego twierdzenia w dowodzie zadania i kończącego go.

[Ponewor]

W dalszym ciągu przywołane twierdzenie jest istotą zadania.