Jak znaleźć dwie liczby znając ich NWD i NWW?

[ly000]

Witam. W jaki sposób mogę znaleźć dwie liczby znając ich NWD i NWW?

[AndrzejK]

\(\displaystyle{ NWW(a,b) \cdot NWD (a,b) = a \cdot b}\)

[ly000]

Okey, a co dalej? W jaki sposób obliczyć te dwie liczby nie znając żadnej z nich?

[AndrzejK]

Przykład:
Wyznacz wszystkie pary liczb, ktorych NWD wynosi \(\displaystyle{ 2}\), a NWW jest równa \(\displaystyle{ 6}\).
A więc mamy znaleźć liczby:
\(\displaystyle{ a=2k \wedge b = 2l}\), gdzie \(\displaystyle{ k,l \in N \wedge NWD(k,l)=1}\)
Wówczas wiadomo, że \(\displaystyle{ ab = 4kl \wedge ab=12 \Leftrightarrow kl = 3}\) i musimy odnaleźć takie pary liczb naturalnych względnie pierwszych \(\displaystyle{ k, l}\), aby ich iloczyn był równy \(\displaystyle{ 3}\). Mamy dwie pary liczb:
\(\displaystyle{ (1,3); (3,1)}\). Podstawiamy do wyjściowego równania i mamy szukane liczby:
\(\displaystyle{ a = 2 \vee b = 6}\)
\(\displaystyle{ a = 6 \vee b = 2}\)

[ly000]

Dzięki, ale jest to dla mnie trochę niejasne. Miałem trochę o tym w szkole, lecz niewiele i już dawno o tym zapomniałem, a teraz muszę sobie to przypomnieć na jutro.

\(\displaystyle{ a=2k \wedge b = 2l}\), gdzie \(\displaystyle{ k,l \in N \wedge NWD(k,l)=1}\)

Dlaczego akurat \(\displaystyle{ 2l}\) i \(\displaystyle{ 2k}\)? Skąd my to wiemy? I dlaczego \(\displaystyle{ NWD(k,l)=1}\)?

[AndrzejK]

Bo są podzielne przez \(\displaystyle{ 2}\) (skoro ich największym wspólnym dzielnikiem jest właśnie ta liczba). Z tego samego wynika drugie stwierdzenie (\(\displaystyle{ NWD(a,b)=2}\), a więc liczby \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ l}\) muszą być względnie pierwsze).