Wykaż, że suma liczb nie jest kwadratem liczby całkowitej

[Yuanic]

Witam. Mam do udowodnienia następujące zadanie:
Udowodnij, że dla \(\displaystyle{ n}\) i \(\displaystyle{ d}\) należących do zbioru liczb naturalnych dodatnich dla których zachodzi fakt \(\displaystyle{ d\left| 2n^{2} \right}\) suma \(\displaystyle{ n^{2} +d}\) nie może być kwadratem liczby całkowitej.
Rozpocząłem dowód nie wprost: niech \(\displaystyle{ n^{2} +d = c^{2}}\) ,gdzie \(\displaystyle{ c}\) należy do zbioru liczb całkowitych. Z faktu \(\displaystyle{ d\left| 2n^{2} \right}\) uzyskuję, że \(\displaystyle{ 2n^{2} = d*k}\), gdzie \(\displaystyle{ k}\) należy do zbioru liczb naturalnych dodatnich. Po przekształceniu otrzymuję: \(\displaystyle{ d = 2n^{2} /k}\). Podstawiam do \(\displaystyle{ n^{2} +d = c^{2}}\) i mam \(\displaystyle{ n^{2} * \frac{2+k}{k} = c^{2}}\). Zauważam dalej, że \(\displaystyle{ \frac{2+k}{k}}\) musi być kwadratem liczby wymiernej.
No i tu nie wiem, jak dalej poprowadzić dowód. Proszę o pomoc .

[Vax]

Załóżmy nie wprost, że istnieją takie liczby naturalne \(\displaystyle{ n,d,k}\), że \(\displaystyle{ d \mid 2n^2 \wedge n^2+d = k^2}\). Na początku pokażemy, że \(\displaystyle{ d}\) musi być kwadratem lub podwojonym kwadratem liczby całkowitej. Istotnie, wystarczy pokazać, że każda nieparzysta liczba pierwsza \(\displaystyle{ p}\) wchodzi w rozkład \(\displaystyle{ d}\) w parzystej w potędze. Załóżmy nie wprost, że istnieje takie \(\displaystyle{ p \in \mathbb{P}}\), że \(\displaystyle{ v_p(d) = 2t+1 \ , \ t \in \mathbb{Z_+}\cup \lbrace 0\rbrace}\). Skoro \(\displaystyle{ d \mid 2n^2}\), to \(\displaystyle{ v_p(d) \le v_p(n^2)}\), ale \(\displaystyle{ 2 \mid v_p(n^2)}\) oraz \(\displaystyle{ 2 \nmid v_p(d)}\), więc \(\displaystyle{ v_p(d) < v_p(n^2)}\). Jednak wówczas \(\displaystyle{ 2 \mid v_p(n^2+d) = v_p(d) = 2t+1}\) sprzeczność. Załóżmy, że \(\displaystyle{ d = m^2 \ , \ m \in \mathbb{Z}_+}\), wówczas \(\displaystyle{ m^2 \mid 2n^2 \Rightarrow m \mid n \iff n = l\cdot m \ , \ l \in \mathbb{Z}_+}\), wówczas \(\displaystyle{ k^2 = n^2+d = l^2m^2+m^2 = m^2(l^2+1)}\)

Czyli \(\displaystyle{ l^2+1}\) musiałoby być kwadratem liczby całkowitej, jednak \(\displaystyle{ l^2 < l^2+1 < (l+1)^2}\), więc dane wyrażenie leży pomiędzy dwoma kolejnymi kwadratami liczb całkowitych, więc nie może nim być sprzeczność. Jeżeli \(\displaystyle{ d=2m^2}\) to analogicznie \(\displaystyle{ m \mid n \iff n = lm}\), wówczas \(\displaystyle{ k^2 = n^2+d = l^2m^2+2m^2 = m^2(l^2+2)}\) i podobnie \(\displaystyle{ l^2 < l^2+2 < (l+1)^2}\) sprzeczność.