Istnienie liczby niewymiernej między innymi liczbami

[elbargetni]

Mam nadzieję, że ktoś zrozumie mój problem.
Miałem udowodnić, że między liczbą wymierną \(\displaystyle{ m}\) a \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) znajdzie się liczba niewymierna.
Jedną z przykładowych liczb jest np. \(\displaystyle{ x= \frac{3m^2+2}{4m}}\), zaś gdy nasze \(\displaystyle{ m= \frac{p}{q}}\), to wtedy, np. \(\displaystyle{ x= \frac{3pq+1}{3q^2}}\). Chodzi mi głównie o to, że jaki jest sposób na znalezienie takich liczb, dla przykładu te pierwszą, którą podałem, można znaleźć od tyłu:
\(\displaystyle{ k< \sqrt{2}}\) i teraz: podnosimy do kwadratu, dodajemy \(\displaystyle{ 3k^2}\), dzielimy przez \(\displaystyle{ 4k}\) i mamy, ale jakbyśmy np. dodali \(\displaystyle{ k^2}\) to tak nie zadziała, chodzi mi czy jest jakaś metoda na to, albo inny sposób na znajdowanie takich liczb.
Zadanie było związane z Zasadą Ciągłości Dedekinda dla liczb niewymiernych.

[Spektralny]

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Dow%C3%B3d_niekonstruktywny

:

Załóżmy, że w przedziale \(\displaystyle{ (m, \sqrt{2})}\) nie ma liczb niewymiernych. Składa się on wówczas wyłacznie z liczb wymiernych,

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Plik:Diagonal_argument.svg

. Rozważmy funkcje

\(\displaystyle{ f(x) = x-m}\) i \(\displaystyle{ g(x) = \frac{x}{\sqrt{2}-m}}\).

Możemy zapisać

\(\displaystyle{ (0,1) = g\big(f\big( (m, \sqrt{2})\big)\big)}\)

skąd przedział \(\displaystyle{ (0,1)}\) jest również przeliczalny. Sprzeczność, bo przedział \(\displaystyle{ (0,1)}\) [url=https://pl.wikipedia.org/wiki/Metoda_przek%C4%85tniowa]jest nieprzeliczalny[/url]. \(\displaystyle{ \square}\)

Podaję taki dowód podaję by zademonstrować pewne rozumowania, a nie dlatego, że uważam, że to najlepszy (chociaż swój urok ma).

[elbargetni]

Dzięki, może idealnie tego nie rozumiem, ale mniej więcej wiem o co chodzi i chyba w pierwszym zdaniu powinno być: "... nie ma liczb niewymiernych." Może ktoś jeszcze na coś wpadnie.

[Ponewor]

Przecież już wypowiadałeś się w tym temacie w którym jest co trzeba https://www.matematyka.pl/344807.htm

[ghostt]

a nie można tego udowodnić ze po prostu liczba \(\displaystyle{ (m+\sqrt{2})/2}\) jest liczba niewymierna

[Ponewor]

Można.