Liczby pierwsze

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Rosee1993
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 113
Rejestracja: 12 lis 2012, o 23:59
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 32 razy

Liczby pierwsze

Post autor: Rosee1993 »

Udowodnij, że wśród liczb \(\displaystyle{ m}\), \(\displaystyle{ m+1}\), \(\displaystyle{ m+2}\) istnieje taka, która jest względnie pierwsza z pozostałymi.
Ostatnio zmieniony 13 paź 2013, o 14:08 przez smigol, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Temat umieszczony w złym dziale.
Awatar użytkownika
kristoffwp
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 688
Rejestracja: 28 gru 2009, o 00:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bielsko - Biała
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 88 razy

Liczby pierwsze

Post autor: kristoffwp »

Ta liczba to \(\displaystyle{ m+1}\). Łatwo to udowodnić nie wprost. Załóżmy, że \(\displaystyle{ m+1}\) i \(\displaystyle{ m}\) nie są względnie pierwsze. Istnieje zatem liczba pierwsza \(\displaystyle{ p_1}\) taka, że \(\displaystyle{ m=k_1p_1}\) i \(\displaystyle{ m+1=k_2p_1}\) i \(\displaystyle{ k_1,k_2\in\mathbb{N}, k_2>k_1}\). Otrzymujemy: \(\displaystyle{ 1=m+1-m=p_1(k_2-k_1)\geq p_1>1)}\). Otrzymana sprzeczność dowodzi, że \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ m+1}\) są względnie pierwsze. Analogicznie postępujemy dla drugiej pary liczb.
Rosee1993
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 113
Rejestracja: 12 lis 2012, o 23:59
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 32 razy

Liczby pierwsze

Post autor: Rosee1993 »

Czyli rozpatruję parę \(\displaystyle{ m+1}\) i \(\displaystyle{ m+2}\) przy tych samych założeniach. I jak tu jest w przedostatniej linijce w tym przypadku będzie \(\displaystyle{ 1=m+2-m-1}\) itd i tu znów mi wychodzi sprzeczność. Więc znów są to liczby względnie pierwsze. Pary \(\displaystyle{ m, m+2}\) nie rozpatruje gdyż one nie muszą być względnie pierwsze. Tak?
Ostatnio zmieniony 14 paź 2013, o 09:44 przez bakala12, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
Ponewor
Moderator
Moderator
Posty: 2218
Rejestracja: 30 sty 2012, o 21:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 297 razy

Liczby pierwsze

Post autor: Ponewor »

tak
Awatar użytkownika
kristoffwp
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 688
Rejestracja: 28 gru 2009, o 00:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bielsko - Biała
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 88 razy

Liczby pierwsze

Post autor: kristoffwp »

Rosee1993 pisze:czyli rozpatruje pare m+1 i m+2 przy tych samych zalozeniach. i jak tu jest w przedostatniej linijce w tym przypadku bedzie 1=m+2-m-1 itd i tu znow mi wychodzi sprzecznosc. wiec znow sa ta liczby wzglednie pierwsze. pary m, m+2 nie rozpatruje gdyz one nie musza byc wzglednie pierwsze. tak?
Tak. Nie muszą, ale jak są nieparzyste to muszą.
ODPOWIEDZ