Liczby pierwsze - indukcja matematyczna

[ostas12345]

Cześć!

Mam problem z rozwiązaniem 2 zadań dotyczących liczb pierwszych.

\(\displaystyle{ 1.}\) Niech \(\displaystyle{ p_{1} = 2, p_{2} = 3, p_{3} = 5, p_{4} = 7, p_{5} = 11,}\) itd., \(\displaystyle{ p_{n}}\) jest \(\displaystyle{ n}\)-tą liczbą pierwszą.
Dowieść, że \(\displaystyle{ p_{n} > 3n}\) dla \(\displaystyle{ n \ge 12.}\)

\(\displaystyle{ 2.}\) Niech \(\displaystyle{ l_{n}}\) - ilość liczb pierwszych mniejszych lub równych \(\displaystyle{ n}\) (tzn. \(\displaystyle{ l_{1} = 0, l_{2} = 1, l_{3} = 2, l_{4} = 2, l_{5} = 3,}\) itd.).
Wykaż, że dla \(\displaystyle{ n \ge 8}\) zachodzi \(\displaystyle{ l_{n} \le \frac{n}{2}.}\)

\(\displaystyle{ 1.}\) Stosując indukcję matematyczną otrzymałem sprzeczność. Założenie indukcyjne: \(\displaystyle{ p_{n} > 3n}\) dla \(\displaystyle{ n \ge 12.}\) Teza indukcyjna: \(\displaystyle{ p_{n+1} > 3(n+1) = 3n + 3.}\) Dodałem obustronnie \(\displaystyle{ 3}\) do założenia indukcyjnego i otrzymałem \(\displaystyle{ p_{n} + 3 > 3n + 3.}\) Gdyby spełniona była pierwsza nierówność w \(\displaystyle{ p_{n+1} \ge p_{n} + 3 > 3n + 3}\) to dowód byłby ukończony, ale otrzymujemy sprzeczność bo dla \(\displaystyle{ n = 13}\) mamy \(\displaystyle{ p_{14} = 43 < 44 = p_{13} + 3.}\)
Podobnie wyszło mi w zadaniu \(\displaystyle{ 2.}\)

Z góry dziękuję za pomoc.

[Ponewor]

Otrzymana "sprzeczność" nie oznacza wcale, że teza zadania nie jest spełniona, znaczy to jedynie, że Twoje podejście jest kiepskie. Oczywiście Twoje szacowania się psują gdy mamy do czynienia z parą liczb pierwszych bliźniaczych czyli oddalonych od siebie o \(\displaystyle{ 2}\). Jednak np. \(\displaystyle{ p_{13}=41}\) było większe od \(\displaystyle{ 39}\) z dość dużym zapasem, by \(\displaystyle{ p_{14}=43}\) było nadal większe od \(\displaystyle{ 43}\). Ten zapas wystarczy na później, bo liczb pierwszych bliźniaczych nie ma zbyt wielu zbyt blisko siebie, a mianowicie nie ma trzech kolejnych liczb pierwszych \(\displaystyle{ p-2, \ p, \ p+2}\), poza odpowiednio małymi \(\displaystyle{ 3, \ 5, \ 7}\). Proponuję w zadaniu 1 w ramach osobnych dowodów pokazać, że \(\displaystyle{ p_{2k} > 6k}\), oraz \(\displaystyle{ p_{2k+1}>6k+3}\), gdzie w obu przypadkach \(\displaystyle{ k \ge 6}\).
W zadaniu drugim dosyć podobnie, tu z prawdziwości twierdzenia dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\), pokazujemy jego prawdziwość dla \(\displaystyle{ n+5}\).