Wykazać, że jeśli \(\displaystyle{ a \equiv b \ mod \ n}\) i \(\displaystyle{ c \equiv d \ mod \ n}\) to \(\displaystyle{ a + c \equiv b + d \ mod \ n}\) i \(\displaystyle{ a \cdot c \equiv b \cdot d \ mod \ n}\)
Pierwszą część tezy chyba wykazałem. Chyba ponieważ nie jestem pewny czy poprawnie:
\(\displaystyle{ a \equiv b \ mod \n \Rightarrow a - b = kn \ \wedge \ k \in \mathbb{Z}\\
c \equiv d \ mod \n \Rightarrow c -d = kn \ \wedge \ k \in \mathbb{Z}\\
a = kn + b\\
c = kn + d\\
a + c = kn + b + kn + d\\
a + c = 2kn + b + d\\
(a + c) - (b + d) = 2kn \Rightarrow a + c \equiv b + d \ mod \ n}\)
Czy to rozwiązanie jest poprawne i czy drugą część tezy należy udowodnić w ten sam sposób?
Ostatnio zmieniony 12 paź 2013, o 23:44 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód:Poprawa wiadomości.
(prawie) dobrze. jest jeden rażący błąd - jeśli piszesz, że \(\displaystyle{ a - b = kn \ \wedge \ k \in \mathbb{Z}}\) , to potem rozpisując analogicznie dla \(\displaystyle{ c,d}\) nie możesz napisać też \(\displaystyle{ k}\). Bo to nie musi być koniecznie taka sama liczba - jedyne co wiemy to to, że jest całkowita. czyli powinno być np. \(\displaystyle{ c - d = mn \ \wedge \ m \in \mathbb{Z}}\) (ale to nie zmienia zbytnio rozwiązania)
z mnożeniem podobnie.
Prosiłbym jeszcze o sprawdzenie dowodu tej drugiej części tezy:
\(\displaystyle{ a \cdot c = (kn + b) \cdot (mn + d)\\
a \cdot c = kn \cdot mn + kn \cdot d + mn \cdot b + bd\\
a \cdot c - b \cdot d = kn \cdot mn + kn \cdot d + mn \cdot b\\
a \cdot c - b \cdot d = n(k \cdot m \cdot n + k \cdot d + m \cdot b)}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ k,m,n,d}\) oraz \(\displaystyle{ b}\) to liczby całkowite to wyrażenie \(\displaystyle{ k \cdot m \cdot n + k \cdot d + m \cdot b}\) też jest całkowite więc z tego wynika, że \(\displaystyle{ a \cdot c \equiv b \cdot d \ mod \ n}\).
Ostatnio zmieniony 12 paź 2013, o 23:45 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód:Poprawa wiadomości.
