Funkcja Eulera

[Zahion]

Witam!

Jak dowieść równości dla liczb \(\displaystyle{ n,p,k \in N}\) to
\(\displaystyle{ f(n) = p ^{k} - p ^{k-1}}\), gdzie \(\displaystyle{ f(n)}\) to funkcja Eulera. Dziękuje za odpowiedz.

[bakala12]

A jakieś założenia o tych liczbach?

[Zahion]

Właśnie o liczbie k nie jest nic wspomniane. Natomiast co do p to w poprzednim przykładzie jest wspomniane, że liczba p jest liczbą pierwszą. Link

[bakala12]

Mam rozumieć, że chodzi Ci o dowód tej własności:

Jeżeli \(\displaystyle{ n = p^{k}}\), to

\(\displaystyle{ \varphi(n) = p^{k} - p^{k - 1}}\)

Prawda?

[Zahion]

Tak

[bakala12]

No to z definicji. Jakie mamy liczby od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ p^{k}}\) które nie są względnie pierwsze z \(\displaystyle{ p^{k}}\). Wszystkie które dzielą się przez \(\displaystyle{ p}\) (dlaczego?). Ile ich jest?

[Zahion]

Liczb względnie pierwszych z \(\displaystyle{ p}\) mamy :
\(\displaystyle{ f \left( p \right) = p \left( 1- \frac{1}{ p_{1} } \right) ... \left( 1- \frac{1}{ p_{i}} \right)}\) więc pozostałe liczby to są liczby podzielne przez \(\displaystyle{ p}\), chyba, że chodzi o założenie mówiące, że liczba \(\displaystyle{ p}\) jest pierwsza wtedy mamy dwie liczby podzielne przez \(\displaystyle{ p}\) i są to liczb \(\displaystyle{ 1,p}\).
Odswiezam!