Prosiłbym o pomoc w takim dowodzie :
\(\displaystyle{ \forall n\in N (n \ge 2 \to \sqrt{n^2 + 3n} \not\in Q)}\)
Dowód z liczbami niewymiernymi
-
bakala12
- Użytkownik
- Posty: 3044
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gołąb
- Podziękował: 24 razy
- Pomógł: 513 razy
Dowód z liczbami niewymiernymi
Zauważ, że dla \(\displaystyle{ n \ge 2}\) mamy \(\displaystyle{ n^{2}+4n+4>n^{2}+3n>n^{2}+2n+1}\).
Zatem \(\displaystyle{ \sqrt{n^{2}+3n}\not\in \mathbb{Z}}\)
Ale znany jest fakt i niedawno był tu gdzieś dowodzony, że dla dowolnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ k}\) zachodzi:
\(\displaystyle{ \sqrt{k} \in \mathbb{N} \vee \sqrt{k} \not\in \mathbb{Q}}\)
To kończy dowód.
Zatem \(\displaystyle{ \sqrt{n^{2}+3n}\not\in \mathbb{Z}}\)
Ale znany jest fakt i niedawno był tu gdzieś dowodzony, że dla dowolnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ k}\) zachodzi:
\(\displaystyle{ \sqrt{k} \in \mathbb{N} \vee \sqrt{k} \not\in \mathbb{Q}}\)
To kończy dowód.
-
Bobi02
- Użytkownik
- Posty: 213
- Rejestracja: 6 paź 2013, o 22:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 22 razy
- Pomógł: 3 razy
Dowód z liczbami niewymiernymi
Czy ten dowód może być przeprowadzony w następujący sposób?
Przypuszczam, że
\(\displaystyle{ \sqrt{n^2+3n} \in Q, ale \not\in N.}\)
Wtedy zbiór \(\displaystyle{ A = \lbrace m \in N : m\sqrt{n^2+3n} \in N \rbrace}\) jest niepusty.
Niech \(\displaystyle{ m_{0}}\) będzie najmniejszym elementem \(\displaystyle{ A}\). Wtedy \(\displaystyle{ m_{0}\sqrt{n^2+3n} = l \in N.}\)
Zakładam \(\displaystyle{ m_{1} = m_{0}(\sqrt{n^2+3n}-\lfloor \sqrt{n^2+3n} \rfloor)}\). Z nierówności \(\displaystyle{ 0 < \sqrt{n^2+3n} - \lfloor \sqrt{n^2+3n} \rfloor < 1}\) wynika, że \(\displaystyle{ 0 < m_{1} <m}\).
Ponadto,
\(\displaystyle{ m_{1} = m_{0}\sqrt{n^2+3n} - m_{0}\lfloor \sqrt{n^2+3n} \rfloor = l - m_{0}\lfloor \sqrt{n^2+3n} \rfloor \in Z}\),
a więc \(\displaystyle{ m_{1}}\) jest liczbą naturalną, bo \(\displaystyle{ m_{1} > 0}\).
Kontynuując \(\displaystyle{ 0<m_{1}\sqrt{n^2+3n} = m_{0}\sqrt{n^2+3n}^2 - m_{0}\sqrt{n^2+3n}\lfloor \sqrt{n^2+3n} \rfloor = m_{0}(n^2 +3n) - l\lfloor \sqrt{n^2+3n} \rfloor \in Z}\)
a więc liczba \(\displaystyle{ m_{1}\sqrt{n^2+3n}}\) też jest naturalna. To oznacza, że \(\displaystyle{ m_{1} \in A}\) i \(\displaystyle{ m_{1} < m_{0}}\), a przy tym \(\displaystyle{ m_{0}}\) jest najmniejszym elementem w zbiorze A. Otrzymałem sprzeczność, która oznacza, że \(\displaystyle{ \sqrt{n^2+3n}}\) nie może być liczbą wymierną.
Przypuszczam, że
\(\displaystyle{ \sqrt{n^2+3n} \in Q, ale \not\in N.}\)
Wtedy zbiór \(\displaystyle{ A = \lbrace m \in N : m\sqrt{n^2+3n} \in N \rbrace}\) jest niepusty.
Niech \(\displaystyle{ m_{0}}\) będzie najmniejszym elementem \(\displaystyle{ A}\). Wtedy \(\displaystyle{ m_{0}\sqrt{n^2+3n} = l \in N.}\)
Zakładam \(\displaystyle{ m_{1} = m_{0}(\sqrt{n^2+3n}-\lfloor \sqrt{n^2+3n} \rfloor)}\). Z nierówności \(\displaystyle{ 0 < \sqrt{n^2+3n} - \lfloor \sqrt{n^2+3n} \rfloor < 1}\) wynika, że \(\displaystyle{ 0 < m_{1} <m}\).
Ponadto,
\(\displaystyle{ m_{1} = m_{0}\sqrt{n^2+3n} - m_{0}\lfloor \sqrt{n^2+3n} \rfloor = l - m_{0}\lfloor \sqrt{n^2+3n} \rfloor \in Z}\),
a więc \(\displaystyle{ m_{1}}\) jest liczbą naturalną, bo \(\displaystyle{ m_{1} > 0}\).
Kontynuując \(\displaystyle{ 0<m_{1}\sqrt{n^2+3n} = m_{0}\sqrt{n^2+3n}^2 - m_{0}\sqrt{n^2+3n}\lfloor \sqrt{n^2+3n} \rfloor = m_{0}(n^2 +3n) - l\lfloor \sqrt{n^2+3n} \rfloor \in Z}\)
a więc liczba \(\displaystyle{ m_{1}\sqrt{n^2+3n}}\) też jest naturalna. To oznacza, że \(\displaystyle{ m_{1} \in A}\) i \(\displaystyle{ m_{1} < m_{0}}\), a przy tym \(\displaystyle{ m_{0}}\) jest najmniejszym elementem w zbiorze A. Otrzymałem sprzeczność, która oznacza, że \(\displaystyle{ \sqrt{n^2+3n}}\) nie może być liczbą wymierną.
-
smigol
- Użytkownik
- Posty: 3454
- Rejestracja: 20 paź 2007, o 23:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 89 razy
- Pomógł: 353 razy
Dowód z liczbami niewymiernymi
Jest ok, poza małymi usterkami redakcyjnymi.
Po co przypuszczać, że \(\displaystyle{ \sqrt{n^2+3n} \in \mathbb{Q} \setminus \mathbb{N}}\)? Wystarczy założyć nie wprost, że \(\displaystyle{ \sqrt{n^2+3n} \in \mathbb{Q}}\).
I nie zakładasz, że \(\displaystyle{ m_{1} = m_{0}(\sqrt{n^2+3n}-\lfloor \sqrt{n^2+3n} \rfloor)}\), tylko oznaczasz \(\displaystyle{ m_1}\) jako \(\displaystyle{ m_{0}(\sqrt{n^2+3n}-\lfloor \sqrt{n^2+3n} \rfloor)}\).
Po co przypuszczać, że \(\displaystyle{ \sqrt{n^2+3n} \in \mathbb{Q} \setminus \mathbb{N}}\)? Wystarczy założyć nie wprost, że \(\displaystyle{ \sqrt{n^2+3n} \in \mathbb{Q}}\).
I nie zakładasz, że \(\displaystyle{ m_{1} = m_{0}(\sqrt{n^2+3n}-\lfloor \sqrt{n^2+3n} \rfloor)}\), tylko oznaczasz \(\displaystyle{ m_1}\) jako \(\displaystyle{ m_{0}(\sqrt{n^2+3n}-\lfloor \sqrt{n^2+3n} \rfloor)}\).