Liczby wymierne i niewymierne.
Liczby wymierne i niewymierne.
1) Udowodnij, że pomieędzy dowolnymi dwoma różnymi liczbami niewymiernymi znajduje się liczba wymierna.
2) Udowodnij, że pomiędzy dowolnymi dwoma różnymi liczbami niewymiernymi znajduje się nieskończenie
wiele liczb wymiernych.
3) Udowodnij, że pomiędzy dowolnymi dwoma różnymi liczbami niewymiernymi znajduje się liczba niewymierna.
2) Udowodnij, że pomiędzy dowolnymi dwoma różnymi liczbami niewymiernymi znajduje się nieskończenie
wiele liczb wymiernych.
3) Udowodnij, że pomiędzy dowolnymi dwoma różnymi liczbami niewymiernymi znajduje się liczba niewymierna.
Liczby wymierne i niewymierne.
Wszystko wynika z aksjomatu ciągłości.
1) Tak się tego nie dowodzi, ale podam pewną intuicję. Otóż niech \(\displaystyle{ a<b}\) i \(\displaystyle{ a,b}\) będą niewymierne. Bierzemy przybliżenie dziesiętne liczby \(\displaystyle{ a}\) z niedomiarem (dostatecznie małym, mniejszym niż np. połowa odległości \(\displaystyle{ b-a}\) lub - jeśli trzeba - jeszcze mniejszym (nie liczyłem jaki niedomiar jest potrzebny). Z takim samym nadmiarem przybliżamy liczbę \(\displaystyle{ b}\). Bierzemy średnią arytmetyczną tych przybliżeń i już. Można też kombinować nieco inaczej, ale nie będę tego ciągnął.
2) Wystarczy, że wskażesz dwie takie liczby wymierne. Wystarczy zmodyfikować moje rozumowanie - wziąć odpowiedni niedomiar \(\displaystyle{ a_1}\) i nadmiar \(\displaystyle{ b_1}\) i średnie \(\displaystyle{ \frac{3}{4}a_1+\frac{1}{4}b_1}\) i \(\displaystyle{ \frac{1}{4}a_1+\frac{3}{4}b_1}\).
3) Jest tak, bo liczb wymiernych mamy przeliczalnie wiele, a przedział \(\displaystyle{ (a,b)}\) jest zbiorem nieprzeliczalnym.
1) Tak się tego nie dowodzi, ale podam pewną intuicję. Otóż niech \(\displaystyle{ a<b}\) i \(\displaystyle{ a,b}\) będą niewymierne. Bierzemy przybliżenie dziesiętne liczby \(\displaystyle{ a}\) z niedomiarem (dostatecznie małym, mniejszym niż np. połowa odległości \(\displaystyle{ b-a}\) lub - jeśli trzeba - jeszcze mniejszym (nie liczyłem jaki niedomiar jest potrzebny). Z takim samym nadmiarem przybliżamy liczbę \(\displaystyle{ b}\). Bierzemy średnią arytmetyczną tych przybliżeń i już. Można też kombinować nieco inaczej, ale nie będę tego ciągnął.
2) Wystarczy, że wskażesz dwie takie liczby wymierne. Wystarczy zmodyfikować moje rozumowanie - wziąć odpowiedni niedomiar \(\displaystyle{ a_1}\) i nadmiar \(\displaystyle{ b_1}\) i średnie \(\displaystyle{ \frac{3}{4}a_1+\frac{1}{4}b_1}\) i \(\displaystyle{ \frac{1}{4}a_1+\frac{3}{4}b_1}\).
3) Jest tak, bo liczb wymiernych mamy przeliczalnie wiele, a przedział \(\displaystyle{ (a,b)}\) jest zbiorem nieprzeliczalnym.
Ostatnio zmieniony 9 paź 2013, o 21:52 przez szw1710, łącznie zmieniany 1 raz.
- Ponewor
- Moderator
- Posty: 2218
- Rejestracja: 30 sty 2012, o 21:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 70 razy
- Pomógł: 297 razy
Liczby wymierne i niewymierne.
2) wynika łatwo z połączenia 3) z 1)
Natomiast 3) można pokazać jeszcze inaczej. Ba, pokażemy nawet, że między każdą liczbą niewymierną i dowolną rzeczywistą istnieje liczba niewymierna. Niech \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) to nasz liczby przy czym \(\displaystyle{ a}\) jest niewymierne. Załóżmy nie wprost, że wymierne są liczby \(\displaystyle{ p=\frac{a+b}{2}}\) i \(\displaystyle{ q=\frac{a+2b}{3}}\). Zatem wymierna jest liczba \(\displaystyle{ 4p-3q=a}\) czyli sprzeczność.
Natomiast 3) można pokazać jeszcze inaczej. Ba, pokażemy nawet, że między każdą liczbą niewymierną i dowolną rzeczywistą istnieje liczba niewymierna. Niech \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) to nasz liczby przy czym \(\displaystyle{ a}\) jest niewymierne. Załóżmy nie wprost, że wymierne są liczby \(\displaystyle{ p=\frac{a+b}{2}}\) i \(\displaystyle{ q=\frac{a+2b}{3}}\). Zatem wymierna jest liczba \(\displaystyle{ 4p-3q=a}\) czyli sprzeczność.
-
- Użytkownik
- Posty: 3044
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gołąb
- Podziękował: 24 razy
- Pomógł: 513 razy
Liczby wymierne i niewymierne.
To ja przedstawię jeszcze inny dowód.
Niech \(\displaystyle{ a,b \in \mathbb{R}, \ a<b}\). Wybierzmy takie \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\), żeby było \(\displaystyle{ n>\frac{1}{b-a}}\) (takie \(\displaystyle{ n}\) oczywiście zawsze istnieje, z uwagi na nieograniczoność zbioru liczb naturalnych). Zatem \(\displaystyle{ b-a>\frac{1}{n}}\). Poza tym mamy:
\(\displaystyle{ \lfloor na \rfloor \le na <\lfloor na \rfloor +1 \ \left( *\right)}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ \frac{\lfloor na \rfloor}{n} \le a < \frac{\lfloor na \rfloor +1}{n}}\)
Wobec tego mamy:
\(\displaystyle{ a< \frac{\lfloor na \rfloor +1}{n} \le \frac{na+1}{n}=a+\frac{1}{n}<a+b-a=b}\)
Pomiędzy liczbami \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) leży liczba \(\displaystyle{ \frac{\lfloor na \rfloor +1}{n}}\), która niewątpliwie jest wymierna. QED
Dowód:Pomiędzy dowolnymi dwiema różnymi liczbami rzeczywistymi znajduje się liczba wymierna.
Niech \(\displaystyle{ a,b \in \mathbb{R}, \ a<b}\). Wybierzmy takie \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\), żeby było \(\displaystyle{ n>\frac{1}{b-a}}\) (takie \(\displaystyle{ n}\) oczywiście zawsze istnieje, z uwagi na nieograniczoność zbioru liczb naturalnych). Zatem \(\displaystyle{ b-a>\frac{1}{n}}\). Poza tym mamy:
\(\displaystyle{ \lfloor na \rfloor \le na <\lfloor na \rfloor +1 \ \left( *\right)}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ \frac{\lfloor na \rfloor}{n} \le a < \frac{\lfloor na \rfloor +1}{n}}\)
Wobec tego mamy:
\(\displaystyle{ a< \frac{\lfloor na \rfloor +1}{n} \le \frac{na+1}{n}=a+\frac{1}{n}<a+b-a=b}\)
Pomiędzy liczbami \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) leży liczba \(\displaystyle{ \frac{\lfloor na \rfloor +1}{n}}\), która niewątpliwie jest wymierna. QED
- elbargetni
- Użytkownik
- Posty: 189
- Rejestracja: 22 wrz 2013, o 11:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: PL
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 1 raz
Liczby wymierne i niewymierne.
Podłączę się, a jakby chcieć to samo udowodnić, tylko, że między dwiema liczbami rzeczywistymi znajduje się liczba niewymierna, to czy wystarczyłoby zdjąć część całkowitą i byłoby \(\displaystyle{ \frac{na+1}{n}}\) ?
-
- Użytkownik
- Posty: 22173
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3748 razy
Liczby wymierne i niewymierne.
Ale można wędrować po liczbach rzeczywistych krokiem \(\displaystyle{ \pi/n}\), gdzie \(\displaystyle{ n>\frac{\pi}{2(b-a)}}\), żeby na pewno wpaść do przedziału \(\displaystyle{ (a,b)}\)
- Cytryn
- Użytkownik
- Posty: 405
- Rejestracja: 17 wrz 2016, o 17:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 46 razy
Liczby wymierne i niewymierne.
Ale jeśli przypadkiem \(\displaystyle{ a}\) jest krotnością takiego kroku, to nie wszystkie "wpadnięcia" będą dobre. Ja bym zauważył, że punktów w każdym odcinku jest więcej niż liczb naturalnych. Uzasadnienie w jednej linijce.
-
- Użytkownik
- Posty: 22173
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3748 razy
Liczby wymierne i niewymierne.
Dlatego własnie poruszam się krokiem MNIEJSZYM niz połowa długości odcinka.Cytryn pisze:Ale jeśli przypadkiem \(\displaystyle{ a}\) jest krotnością takiego kroku, to nie wszystkie "wpadnięcia" będą dobre. Ja bym zauważył, że punktów w każdym odcinku jest więcej niż liczb naturalnych. Uzasadnienie w jednej linijce.
Pytanie, czy argument mnogościowy lub np. konstrukcja rozwinięcia dziesiętnego nie korzysta z własności, która mamy udowodnić?