Niecałkowitość wyrazów ciągu sum częściowych szeregu harm.

[Matiks21]

Mam takie zadanie:

"Udowodnij że dla kazdego n, jesli n jest naturalne to szereg harmoniczny do n, nie jest liczbą całkowitą."

Proszę jedynie o pomysły

[szw1710]

Pomysł mam taki, nie wiem czy dobry, ale zawsze. Zrób wykres funkcji \(\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{x^n}}\). Pole pod tym wykresem porównaj z sumą szeregu \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^n}}\). Po prostu zaznacz odpowiednie prostokąty. Takie podejście wymaga obliczenia całki niewłaściwej.

[yorgin]

"Udowodnij że dla kazdego n, jesli n jest naturalne to szereg harmoniczny do n, nie jest liczbą całkowitą."

Dla \(\displaystyle{ n=1}\) twierdzenie jest fałszywe.

[szw1710]

Nie zgodzę się: szereg rozbieżny, a więc jego suma nie jest liczbą całkowitą Poprzednik fałszywy, więc implikacja prawdziwa.

[yorgin]

To ja nie rozumiem treści zadania...

Chodzi o badanie całkowitości wyrażenia \(\displaystyle{ \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k}}\), czy całkowitości \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^n}}\) ?

Czytam treść zadania i widzę pierwszą z wymienionych przez siebie opcji.

[szw1710]

Rzeczywiście, można to zrozumieć na dwa sposoby . Ja rozumiem w ten drugi, co widać z mojego posta Zrozumiałem to tak od razu. Słowo szereg sugeruje sumowanie nieskończenie wielu wyrazów.

Ale tak czy tak, zadanie ma sens. W pierwszym przypadku z wyłączeniem \(\displaystyle{ n=1}\).

[Zordon]

szereg harmoniczny do n: \(\displaystyle{ \left( \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k} \right)^n}\)

[szw1710]

To już trzeci sposób. Tu oczywiście od razu mamy twierdzenie prawdziwe.

[Ponewor]

W celu przeprowadzenia dowodu dla \(\displaystyle{ n> 1}\) należy sprowadzić wszystkie ułamki do wspólnego mianownika i policzyć największą potęgą dwójki jaka dzieli mianownik oraz licznik. Okaże się, że ta w mianowniku jest większa co da tezę. Ja oczywiście mówię o takiej sumie \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i}}\), bo tak to zrozumiałem.

[bartek118]

Myślę, że nie pozostaje nic innego, jak czekać na wyjaśnienie autora treści

[Matiks21]

\(\displaystyle{ 1+\frac {1}{2}+\frac {1}{3}+\ldots +\frac {1}{n}}\) nie jest calkowite o to chodzi. Juz poprawiam: Dla kazdego \(\displaystyle{ n}\) oprócz \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ 0}\) jesli zakladamy że \(\displaystyle{ 0}\) jest naturalne

[szw1710]

Pozostaje oprócz tego sprawdzenie tezy, którą ja zaproponowałem. Wydaje się prawdziwa, a zadanie interesujące

Dokładnie: sprawdzić czy dla każdego \(\displaystyle{ n\in\NN}\) suma szeregu \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^n}}\) nie jest liczbą całkowitą?

Dla \(\displaystyle{ n=1}\) wyjaśniłem, czemu to prawda. Dla \(\displaystyle{ n=1}\) mamy \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2}=\frac{\pi^2}{6}}\), a dalszych sum nie znam. Tym niemniej można to sprawdzić.

[Zordon]

Tamto jest akurat trywialne, bo dla \(\displaystyle{ n\geq 2}\) jest \(\displaystyle{ 1<\zeta(n)<2}\)

[szw1710]

No to mamy sprawę załatwioną. Jakoś dzeta nie przyszła mi do głowy

[Matiks21]

\(\displaystyle{ \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k} \neq C}\) gdzie C jest liczbą całkowitą. Wybaczcie za wieloznaczną treść.
@Ponewor, w jaki sposób mam to sprawdzić?