Załóżmy, że mamy daną liczbę \(\displaystyle{ f}\) np: \(\displaystyle{ 30331}\) i chcemy rozłożyć ją na czynniki pierwsze. Na początku potrzebny nam będzie pierwiastek kwadratowy z \(\displaystyle{ f=30331}\) zaokrąglony w górę do najbliższej liczby całkowitej: \(\displaystyle{ kw=175}\). Następnie wyznaczamy współrzędne wierzchołka paraboli \(\displaystyle{ W=(p,q)}\).
\(\displaystyle{ q=f-kw^2=30331-175^2=-294}\)
\(\displaystyle{ p}\) = liczymy pierwiastek kwadratowy z -q, zaokrąglamy w górę i zmieniamy znak na minus = \(\displaystyle{ -18}\)
Tak więc \(\displaystyle{ W=(-18,-294)}\).
Podstawiamy te dane pod postać kanoniczną funkcji kwadratowej:
\(\displaystyle{ f(x)=a(x-p)^2+q}\) [a zawsze równa się jeden]
\(\displaystyle{ f(x)=(x+18)^2-294=x^2+36x+30}\)
Teraz ustalimy położenie na osi OX punktu \(\displaystyle{ A=(Ax,Ay)}\) przez który przechodzi pęk prostych danych równaniem: \(\displaystyle{ y=2*Ax*k-2*k*x}\) gdzie \(\displaystyle{ k}\) jest dowolną liczbą całkowitą.
\(\displaystyle{ Ax=kw+p=175-18=157}\)
\(\displaystyle{ Ay=0}\)
Tak więc mamy:
\(\displaystyle{ A=(157,0)}\)
\(\displaystyle{ y=314k-2kx}\)
Mamy dwa równania:
\(\displaystyle{ f(x)=x^2+36x+30}\)
\(\displaystyle{ y=314k-2kx}\)
Dla \(\displaystyle{ f(x)=y}\) gdzie \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) są liczbami całkowitymi oraz \(\displaystyle{ 0<x<Ax-1}\) mamy dwa rozwiązania:
\(\displaystyle{ 1) x=108, k=159}\)
\(\displaystyle{ 2) x=150, k=1995}\)
Nie czuję się na siłach by opisać sposób rozwiązania tych równań, jest to w miarę proste do zrobienia nawet dla dużych liczb ale opisanie tego jest dosyć zawiłe. Można to też rozwiązać za pomocą programów matematycznych, ale tutaj mamy ograniczenie w wielkości liczb dla jakich jest realne policzyć to - np. w Mathematice powinno zadziałać coś takiego:
Kod: Zaznacz cały
f = 30331 (* rozkładana liczba *)
kw = IntegerPart[Sqrt[f]] + 1; (* pierwiastek z f, zaokrąglenie do góry *)
q = f - kw^2; (* współrzędna q wierzchołka paraboli *)
p = -IntegerPart[Sqrt[-q]] - 1 ; (* współrzędna p wierzchołka paraboli, zaokrąglenie do góry *)
y = 1*(x - p)^2 + q; (* postać kanoniczna funkcji *)
Ax = kw + p (* współrzędna x punktu A *)
Ay = 0 ;(* współrzędna y punktu A *)
m = -2*k*x + 2*Ax*k ;(* równanie pęku prostych *)
Solve[y == m && 0 < x && x < (Ax - 1), {x,k}, Integers] (* rozwiązanie: Ax-x *)
\(\displaystyle{ 1) 49 (Ax-x=157-108=49)}\)
\(\displaystyle{ 2) 7 (Ax-x=157-150=7)}\)
Gdyby rozkłada liczba była liczba pierwszą to równania nie mają rozwiązań oprócz rozwiązania trywialnego \(\displaystyle{ (x=Ax-1)}\).
Na koniec miałbym pytanie: czy można dowieść że dla dowolnej liczby całkowitej nieparzystej liczba rozwiązań tak utworzonych równań odpowiada liczbie dzielników danej liczby całkowitej nieparzystej mniejszych od jej pierwiastka kwadratowego przez które dzieli się bez reszty?