Dzielniki liczb Mersenne'a

[mi kr]

Jak wiadomo wśród liczb Mersenne'a tylko liczby z wykładnikiem będącym liczbą pierwszą są nieliczne liczby pierwsze. Obecnie znanych jest tylko 48 takich liczb. Wszystkie pozostałe są złożone.
Przeglądając dzielniki liczb Mersenne'a z wykładnikiem w postaci liczby pierwszej zauważyłem, że nie powtarzają się. Siłą rzeczy nie przejrzałem listę dzielników wszystkich liczb Mersenne'a i nie wiem, czy jest to reguła, czy tylko spostrzeżenie wynikające ze zbyt małej ilości przejrzanych liczb?
Proszę wybaczyć trywialność problemu, ale nie jestem matematykiem tylko osobą zafascynowaną liczbami Mersenne'a, które tak nielicznie są pierwsze. A ta największa jest tak niewyobrażalnie duża.

[Qń]

Fakt, że liczby Mersenne'a są parami względnie pierwsze łatwo udowodnić - wiadomo, że:
\(\displaystyle{ NWD(2^n -1, 2^m-1) = 2^{NWD(n,m)}-1}\)
oraz że warunkiem koniecznym (ale niewystarczającym!) na to, żeby liczba \(\displaystyle{ 2^n-1}\) była pierwsza jest to, że \(\displaystyle{ n}\) jest pierwsze. Tak więc jeśli w powyższej równości po lewej stronie mamy dwie liczby pierwsze Mersenne'a, to po prawej musi pojawić się jedynka.

Q.

[mi kr]

Fakt, że liczby Mersenne'a są parami względnie pierwsze łatwo udowodnić - wiadomo, że:
\(\displaystyle{ NWD(2^n -1, 2^m-1) = 2^{NWD(n,m)}-1}\)
oraz że warunkiem koniecznym (ale niewystarczającym!) na to, żeby liczba \(\displaystyle{ 2^n-1}\) była pierwsza jest to, że \(\displaystyle{ n}\) jest pierwsze. Tak więc jeśli w powyższej równości po lewej stronie mamy dwie liczby pierwsze Mersenne'a, to po prawej musi pojawić się jedynka.

Q.

Witam,
nie jestem blondynką, ale też i nie jestem matematykiem i nie widzę, czy Twoje wywody wyjaśniają mi mój problem?
Innymi słowy, czy jeśli liczba Mersenne'a \(\displaystyle{ 2^n-1}\) z wykładnikiem n w postaci liczby pierwszej ma dzielnik k to istnieje inna liczba Mersenne'a \(\displaystyle{ 2^m-1}\) z wykładnikiem m w postaci liczby pierwszej taka, że ona ma też ten sam dzielnik k?

[Powermac5500]

Wyjaśniają Twój problem.
Dwie liczby Mersenne'a są względnie pierwsze.
Czyli nie mają wspólnych dzielników

[Qń]

Ale w czym dokładnie leży problem? Nie wiesz co to jest największy wspólny dzielnik? Nie zauważyłeś, że powyższe rozumowanie prowadzi do wniosku, że dla dwa dwóch różnych liczb pierwszych Mersenne'a \(\displaystyle{ 2^n-1}\) i \(\displaystyle{ 2^m-1}\) jest \(\displaystyle{ NWD(2^n-1, 2^m-1)=1}\)? Czy może nie wiesz w jaki sposób z tego wynika odpowiedź na pytanie czy dwie różne liczby pierwsze Mersenne'a mogą mieć ten sam dzielnik większy niż \(\displaystyle{ 1}\)?

Q.

[mi kr]

Ale w czym dokładnie leży problem? Nie wiesz co to jest największy wspólny dzielnik? Nie zauważyłeś, że powyższe rozumowanie prowadzi do wniosku, że dla dwa dwóch różnych liczb pierwszych Mersenne'a \(\displaystyle{ 2^n-1}\) i \(\displaystyle{ 2^m-1}\) jest \(\displaystyle{ NWD(2^n-1, 2^m-1)=1}\)? Czy może nie wiesz w jaki sposób z tego wynika odpowiedź na pytanie czy dwie różne liczby pierwsze Mersenne'a mogą mieć ten sam dzielnik większy niż \(\displaystyle{ 1}\)?
Q.

Pozwolę sobie podać przykładowo tylko dwie liczby Mersenne'a, które nie są względnie pierwsze.
\(\displaystyle{ M(10)= 2^{10}-1 =1023=3 \cdot 11 \cdot 31}\)
\(\displaystyle{ M(15)= 2^{15}-1 =32 767=3 \cdot 31 \cdot 151}\)
Oczywiście można przytoczyć więcej przykładów, bo każda liczba Mersenne'a mająca n parzyste dzieli się przez 3
gdy n dzieli się przez 6 to odpowiadająca jej liczba Meresenne'a dzieli się przez 5
także dla n podzielnych przez 5 liczba Mersenne'a dzieli przez 31
i dalej wymienię kilka jeszcze wartości w skróconym zapisie (dzielnik liczby n/dzielnik liczby Mersenne'a)
3/7
7/127
8/17
9/73
10/11
11/23 i 89
12/13
13/8191
14/43
15/151
itd.
Coś tu nie tak!

-- 26 wrz 2013, o 19:03 --

Ale w czym dokładnie leży problem? Nie wiesz co to jest największy wspólny dzielnik? Nie zauważyłeś, że powyższe rozumowanie prowadzi do wniosku, że dla dwa dwóch różnych liczb pierwszych Mersenne'a \(\displaystyle{ 2^n-1}\) i \(\displaystyle{ 2^m-1}\) jest \(\displaystyle{ NWD(2^n-1, 2^m-1)=1}\)? Czy może nie wiesz w jaki sposób z tego wynika odpowiedź na pytanie czy dwie różne liczby pierwsze Mersenne'a mogą mieć ten sam dzielnik większy niż \(\displaystyle{ 1}\)?
Q.

Pozwolę sobie podać przykładowo tylko dwie liczby Mersenne'a, które nie są względnie pierwsze.
\(\displaystyle{ M(10)= 2^{10}-1 =1023=3 \cdot 11 \cdot 31}\)
\(\displaystyle{ M(15)= 2^{15}-1 =32 767=3 \cdot 31 \cdot 151}\)
Oczywiście można przytoczyć więcej przykładów, bo każda liczba Mersenne'a mająca n parzyste dzieli się przez 3
gdy n dzieli się przez 6 to odpowiadająca jej liczba Meresenne'a dzieli się przez 5
także dla n podzielnych przez 5 liczba Mersenne'a dzieli przez 31
i dalej wymienię kilka jeszcze wartości w skróconym zapisie (dzielnik liczby n/dzielnik liczby Mersenne'a)
3/7
7/127
8/17
9/73
10/11
11/23 i 89
12/13
13/8191
14/43
15/151
itd.
Coś tu nie tak!

Niestety w trakcie poprawy tekstu, szybciej ode mnie zadziałał admin.
Poprawił edycyjnie, ale nie błąd
Winno być:
\(\displaystyle{ M(15)= 2^{15}-1 =32 767=7 \cdot 31 \cdot 151}\)

[Qń]

Ok, rzeczywiście bez sensu opisałem rozwiązanie (myląc co ma być pierwsze), ale mimo złego opisu dowód jest poprawny.

Żeby więc nie było wątpliwości, powtórzę:
Jeśli \(\displaystyle{ n}\) i \(\displaystyle{ m}\) są liczbami pierwszymi, to z uwagi na równość:
\(\displaystyle{ NWD(2^n -1, 2^m-1) = 2^{NWD(n,m)}-1}\)
otrzymujemy, że w takiej sytuacji \(\displaystyle{ 2^n-1}\) i \(\displaystyle{ 2^m-1}\) są względnie pierwsze, bo ich \(\displaystyle{ NWD}\) wynosi:
\(\displaystyle{ 2^{NWD(n,m)}-1=2^1-1= 1}\).

Q.