Udowodnić, że liczba jest podzielna przez 31.
-
- Użytkownik
- Posty: 1330
- Rejestracja: 10 paź 2004, o 13:30
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Suchedniów
- Pomógł: 104 razy
Udowodnić, że liczba jest podzielna przez 31.
Druga możliwa wskazówka - znasz jakieś wzory skróconego mnożenia?
-
- Użytkownik
- Posty: 924
- Rejestracja: 30 gru 2012, o 19:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Całkonacja
- Podziękował: 227 razy
- Pomógł: 14 razy
Udowodnić, że liczba jest podzielna przez 31.
\(\displaystyle{ 5^{15}-1=125 \cdot 5^{12}-1=124 \cdot 5^{12}+5^{12}-1=124 \cdot 5^{12}+(5^6-1)(5^6+1)=124 \cdot 5^{12}+(5^3-1)(5^3+1)(5^6+1)=124 \cdot 5^{12}+124(5^3+1)(5^6+1)=124((5^3+1)(5^6+1)+5^{12})}\)
Może być? Są jakieś inne sposoby jeszcze?
Może być? Są jakieś inne sposoby jeszcze?
- oldj
- Użytkownik
- Posty: 133
- Rejestracja: 5 wrz 2012, o 14:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 37 razy
Udowodnić, że liczba jest podzielna przez 31.
Najprościej to chyba tak :
\(\displaystyle{ 5^{15}-1 = (5^3 - 1)(5^{12} + 5^{9} + 5^{6} + 5^{3} + 1) = 124 * (5^{12} + ... + 1) = 4 * 31 * (5^{12} + ... + 1)}\)
Ogólnie, dla n naturalnego mamy wzór skr. mnoż. : \(\displaystyle{ a^n - b^n = (a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+...+a^2b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1})}\)
\(\displaystyle{ 5^{15}-1 = (5^3 - 1)(5^{12} + 5^{9} + 5^{6} + 5^{3} + 1) = 124 * (5^{12} + ... + 1) = 4 * 31 * (5^{12} + ... + 1)}\)
Ogólnie, dla n naturalnego mamy wzór skr. mnoż. : \(\displaystyle{ a^n - b^n = (a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+...+a^2b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1})}\)
może być.Może być? Są jakieś inne sposoby jeszcze?
Udowodnić, że liczba jest podzielna przez 31.
Skoro już wszystko zostało powiedziane, to dodam, że najłatwiej chyba posłużyć się kongruencjami. Skoro \(\displaystyle{ 5^3}\) daje resztę \(\displaystyle{ 1}\), to także \(\displaystyle{ 5^{12}=(5^3)^4}\) daje resztę jeden i po odjęciu jedynki mamy resztę zero, czyli podzielność.