Udowodnić, że liczba jest podzielna przez 31.

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
GluEEE
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 924
Rejestracja: 30 gru 2012, o 19:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Całkonacja
Podziękował: 227 razy
Pomógł: 14 razy

Udowodnić, że liczba jest podzielna przez 31.

Post autor: GluEEE »

\(\displaystyle{ 5^{15}-1}\) - to właśnie ta liczba.
szw1710

Udowodnić, że liczba jest podzielna przez 31.

Post autor: szw1710 »

Wskazówka: jaką resztę daje \(\displaystyle{ 5^3}\)?
liu
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1330
Rejestracja: 10 paź 2004, o 13:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Suchedniów
Pomógł: 104 razy

Udowodnić, że liczba jest podzielna przez 31.

Post autor: liu »

Druga możliwa wskazówka - znasz jakieś wzory skróconego mnożenia?
GluEEE
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 924
Rejestracja: 30 gru 2012, o 19:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Całkonacja
Podziękował: 227 razy
Pomógł: 14 razy

Udowodnić, że liczba jest podzielna przez 31.

Post autor: GluEEE »

\(\displaystyle{ 5^{15}-1=125 \cdot 5^{12}-1=124 \cdot 5^{12}+5^{12}-1=124 \cdot 5^{12}+(5^6-1)(5^6+1)=124 \cdot 5^{12}+(5^3-1)(5^3+1)(5^6+1)=124 \cdot 5^{12}+124(5^3+1)(5^6+1)=124((5^3+1)(5^6+1)+5^{12})}\)

Może być? Są jakieś inne sposoby jeszcze?
Awatar użytkownika
oldj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 133
Rejestracja: 5 wrz 2012, o 14:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 37 razy

Udowodnić, że liczba jest podzielna przez 31.

Post autor: oldj »

Najprościej to chyba tak :
\(\displaystyle{ 5^{15}-1 = (5^3 - 1)(5^{12} + 5^{9} + 5^{6} + 5^{3} + 1) = 124 * (5^{12} + ... + 1) = 4 * 31 * (5^{12} + ... + 1)}\)

Ogólnie, dla n naturalnego mamy wzór skr. mnoż. : \(\displaystyle{ a^n - b^n = (a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+...+a^2b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1})}\)
Może być? Są jakieś inne sposoby jeszcze?
może być.
szw1710

Udowodnić, że liczba jest podzielna przez 31.

Post autor: szw1710 »

Skoro już wszystko zostało powiedziane, to dodam, że najłatwiej chyba posłużyć się kongruencjami. Skoro \(\displaystyle{ 5^3}\) daje resztę \(\displaystyle{ 1}\), to także \(\displaystyle{ 5^{12}=(5^3)^4}\) daje resztę jeden i po odjęciu jedynki mamy resztę zero, czyli podzielność.
ODPOWIEDZ