Wyznaczanie rozwiązań układów kongruencji w danym przedziale

[hgv]

Mam dany przykładowy układ kongruencji:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
x=5(mod7)\\
x=7(mod9)\\
x=9(mod11)\end{cases}}\)
Rozwiązałem go korzystając z Chińskiego Twierdzenia o Resztach. Wynik jaki mi wyszedł to
\(\displaystyle{ 5542=691(mod693)}\)
Wydaje mi się, że wszystko zostało wykonane poprawnie. Ale moje pytanie dotyczy możliwych rozwiązań takiego układu. Jak mogę wyznaczyć wszystkie jego rozwiązania np. w przedziale \(\displaystyle{ \left\langle0,5000\right\rangle}\)?

EDIT
Może rozpiszę po kolei co i jak robiłem, żeby pomoc była łatwiejsza.

1.
\(\displaystyle{ NWD(7,9) = NWD(7,11) = NWD(9,11) = 1}\)

Możemy więc zastosować Chińskie Twierdzenie o resztach.

2. \(\displaystyle{ N = 7 \cdot 9 \cdot 11 = 693\\
N_{1} = \frac{693}{7} = 99\\
N_{2} = \frac{693}{9} = 77\\
N_{3} = \frac{693}{11} = 63\\
\\
\\
NWD(99,7) = 1 = -14 \cdot 7 + 1 \cdot 99\\
x_{1} = 1\\
NWD(77,9) = 1 = -17 \cdot 9 + 2 \cdot 77\\
x_{2} = 2\\
NWD(63,11) = 23 \cdot 11 - 4 \cdot 63\\
x_{3} = -4(mod11) = 7}\)

Z powyższych obliczeń otrzymujemy:

\(\displaystyle{ x = 5 \cdot 1 \cdot 99 + 7 \cdot 2 \cdot 77 + 9 \cdot 7 \cdot 63 = 5542 = 691(mod693)}\)

Jak teraz wyznaczyć wszystkie rozwiązanie z przedziału \(\displaystyle{ \left\langle 0,5000 \right\rangle}\)

[robertm19]

Czyli każdy \(\displaystyle{ x=691+k693}\) jest rozwiązaniem. Poszukaj takich k, aby x sie mieścił w tym przedziale.

[hgv]

Jeśli dobrze rozumiem to rozwiązaniami powinny być w takim przypadku:

\(\displaystyle{ x = 691, k = 0\\
...\\
x = 4849, k = 6}\)

Ok, rozumiem. A czy samo rozwiązanie jest poprawne? Bo na kilku innych stronach widziałem inne sposoby rozwiązania i zastanawiam się czy to jest dobre czy może są lepsze.