System dziesiętny jest zapisem jednoznacznym - indukcja

[theoretic]

Witam, głowię się już dłuższy czas, w jaki sposób za pomocą indukcji zupełnej i dowodu nie-wprost udowodnić, że zapis w systemie dziesiętnym jest jednoznaczny. Czy byłby ktoś tak dobry i mi to wyjaśnił, i/lub nakierował na pomocne informacje? Z góry dzięki

[Ponewor]

Zacznij od samego wstępu do dowodu nie wprost, a chętnie pomogę gdy się zatniesz. Załóż, że pewną liczbę \(\displaystyle{ n}\)-cyfrową można zapisać na inny sposób, uzasadnij, że na ten drugi sposób też zrobiono to za pomocą \(\displaystyle{ n}\)-cyfr i kombinuj dalej.

[Cutlass]

Podpowiedź jest taka, że wystarczy wykazać, że równanie

\(\displaystyle{ x_n10^n+\dots x_1 10 +x_0=0}\)

ma dokładnie jedno rozwiązanie równe \(\displaystyle{ x_0=x_1=\dots =x_n=0}\), o ile szukamy go spośród liczb całkowitych \(\displaystyle{ -10<x_i<10}\) przy \(\displaystyle{ i=0,1, \dots n}\). Ale tego nie trzeba dowodzić nie wprost. A Tobie zależy na tym, aby dowód był nie wprost? Z dowodem nie wprost to było chyba w "Teorii liczb" Wacka. W sensie Wacława Sierpińskiego. Są legalne skany na necie. Tylko terminologia w tej książce jest sprzed 60 lat.

[Ponewor]

Eeeh odwaliłeś za niego cały formalny wstęp po którym sam by doszedł do tego równania. W każdym razie teraz należy zastanowić się nad pierwszą cyfrą tej liczby. Potem wykorzystać ewentualne założenie indukcyjne.

[theoretic]

mogę to rozpisać tak, zakładając system dziesiętny:
\(\displaystyle{ x = a_{n} * 10^{n} + ... + a_{1} * 10^{1} + a_{0} * 10^{0}}\)
\(\displaystyle{ x = b_{m} * 10^{m} + ... + b_{1} * 10^{1} + b_{0} * 10^{0}}\)

Potrafię wytłumaczyć, dlaczego a0 musi być równe b0, a1 równe b1, itd. Potem skreślając wspólne składniki sumy, mogę dojść do czegoś takiego, zakładając że n < m:
\(\displaystyle{ 0 = b_{m} * 10^{m} + ... + b_{n+1} * 10^{n+1}}\)

Z czego już jasno wynika, że kolejne \(\displaystyle{ b_{i}}\) od n+1 do m muszą być równe 0. Co też jednoznacznie wskazuje, że eliminując wiodące zera istnieje tylko jeden zapis danej liczby. Ale nie mam pojęcia, jak do tego co rozpisałem wykorzystać indukcję. Chyba, że właśnie ją wykorzystałem, tylko nie zdaję sobie z tego sprawy...?

[Ponewor]

Wydaje mi się, że indukcję przemyciłeś w "itd."

[Cutlass]

Potrafię wytłumaczyć, dlaczego a0 musi być równe b0, a1 równe b1, itd.

To może napisz jak to wyjaśniasz, wtedy się spróbuje dopasować jakąś metodę dowodzenia, żeby było po Twojemu.

EDIT: Jeszcze taka myśl. Przedstawienie liczby możesz potraktować jako pewny ciąg cyfr, który od pewnego miejsca jest ciągle równy zero. Możesz więc przy ustalonej liczbie \(\displaystyle{ x}\) pokazać indukcyjnie ze względu na numer cyfry pokazać, że oba rozwinięcia są równe. Czyli dla \(\displaystyle{ k=0}\) pokazujesz \(\displaystyle{ a_0=b_0}\) a potem zakładasz, że \(\displaystyle{ a_i=b_i}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ i<k}\) i pokazujesz równość \(\displaystyle{ a_k=b_k}\), to powinno pasować do Twojego toku rozumowania.