Podzielność potęg

[bobby42]

Witam,
W książce Adama Neugebauera pod tytułem: "Algebra i teoria liczb" natknąłem się na takie twierdzenie: jeżeli \(\displaystyle{ \frac{ a^{k} }{b ^{k} } \in C \Rightarrow \frac{a}{b} \in C}\) dla k \(\displaystyle{ \ge 1}\)
Czy mógłby ktoś podać dowód tego twierdzenia.

[Vax]

To nieprawda, przyjmij \(\displaystyle{ a=\sqrt{2} \ , \ b=1 \ , \ k = 2}\). Może chodziło o \(\displaystyle{ a,b}\) całkowite ? Jeżeli tak, to na początku zauważ, że nie może istnieć liczba pierwsza \(\displaystyle{ p}\) dzieląca \(\displaystyle{ b}\) oraz niedzieląca \(\displaystyle{ a}\) (wówczas liczba \(\displaystyle{ \frac{a^k}{b^k}}\) nie byłaby całkowita). Czyli zbiór dzielników pierwszych \(\displaystyle{ b}\) zawiera się w zbiorze dzielników pierwszych liczby \(\displaystyle{ a}\). Weźmy dowolny dzielnik pierwszy \(\displaystyle{ p}\) dzielący \(\displaystyle{ b}\), czyli dzielący również \(\displaystyle{ a}\).. Niech \(\displaystyle{ m,n}\) będą wykładnikami liczby \(\displaystyle{ p}\) w rozkładzie na czynniki pierwsze odpowiednio \(\displaystyle{ a,b}\). Wówczas wykładnik liczby \(\displaystyle{ p}\) w rozkładzie na czynniki pierwsze \(\displaystyle{ a^k}\) wynosi \(\displaystyle{ mk}\) a w rozkładzie liczby \(\displaystyle{ b^k}\) wynosi \(\displaystyle{ nk}\), ale skoro \(\displaystyle{ b^k \mid a^k}\) to \(\displaystyle{ nk \le mk \iff n \le m}\). Czyli wykładnik liczby \(\displaystyle{ p}\) w rozkładzie liczby \(\displaystyle{ b}\) jest nie większy niż w rozkładzie liczby \(\displaystyle{ a}\), ale \(\displaystyle{ p}\) było dowolnym dzielnikiem \(\displaystyle{ b}\), skąd wynika \(\displaystyle{ b\mid a \iff \frac{a}{b} \in \mathbb{Z} \ , \mathbb{QED}}\).

[bobby42]

Faktycznie chodziło o liczby całkowite. Sorry za pomyłkę i dzięki za szybką pomoc.