Czy szereg reprezentuje liczbę wymierną?

[Cutlass]

Mam takie fajne zadanie. Czy podany szereg jest zbieżny, a jeśli tak, to czy czy reprezentuje liczbę wymierną? Bonusowo może ktoś spróbować sprawdzić czy przestępną, ale tego to sam nie wiem, chociaż mam pewne podejrzenia.
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{10^{n+ [\log_{10}n](1+r_{10}(n)) }}}\)

gdzie \(\displaystyle{ r_{10}(n)}\) jest resztą z dzielenia \(\displaystyle{ n}\) przez \(\displaystyle{ 10}\).

Reprezentuje liczbę wymierną oznacza, że granicą tego szeregu jest liczbą wymierną. Sorry, za dziwny język.
[] - cecha

[robertm19]

Zbieżność chyba łatwo wynika z kryterium Cauchyego. Resztę nie wiem jak pokazać

[Cutlass]

Mogę dać podpowiedź, że wbrew pozorom: łatwo.

[robertm19]

W sensie, że zbiega do liczby wymiernej? Nigdy takich zadań nie robiłem

[Cutlass]

To masz okazję poćwiczyć kreatywność. Zadania, których się nie robiło są chyba najbardziej rozwijające. To może taka mała podpowiedź. Twierdzenie pozwalające rozstrzygać o wymierności/niewymierności takich liczb poznaje się chyba nawet w podstawówce lub gimnazjum.

[robertm19]

Może jaśniej, kiedy ja byłem w gimnazjum

[Cutlass]

Najprościej będzie przyjrzeć się sumom częściowym tego szeregu. Wtedy już pewnie Cię natchnie.

[yorgin]

Cutlass, z wymierności dowolnej sumy częściowej nie da się nic wywnioskować o wymierności sumy całego szeregu.

Poza tym poszczególne wyrazy tego szeregu nie wydają się być szczególnie ładne - wykładniki dziesiątki w mianowniku nieszczególnie chcą tworzyć jakiś schemat. Po \(\displaystyle{ 29}\) następuje \(\displaystyle{ 21}\), dla \(\displaystyle{ n=99}\) mamy \(\displaystyle{ 108}\) a dla \(\displaystyle{ n=100}\) jest \(\displaystyle{ 102}\). Wszystko waha się tym bardziej, im większe jest \(\displaystyle{ [\log_{10} n]}\).

[robertm19]

Przykład \(\displaystyle{ \sum \frac{1}{n!}}\)

[yorgin]

Żeby było jeszcze ciekawiej, można wskazać szereg liczb złożony z liczb niewymiernych, których sumy częściowe są liczbami niewymiernymi, a który jest zbieżny do liczby wymiernej.

[Cutlass]

No mam nadzieję, że się nie rypnąłem przy opisie liczby, ale jak rozpisywałem, to wychodziło jak należy. Może przemówi do Was bardziej uczona podpowiedź, że \(\displaystyle{ [\log_{10}n]}\) jest potęgą dziesiątki przy najwyższej cyfrze liczby \(\displaystyle{ n}\) w zapisie w systemie dziesiętnym.

[thom]

Jeżeli ta suma jest niewymierna, to wydaje mi się, że będzie to trudne do pokazania dlatego, że szereg jest zbieżny o wiele za wolno. Zazwyczaj dowód niewymierności \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty a_n}\) bazuje na tym, że \(\displaystyle{ a_n}\) bardzo szybko zbiegają do zera, np. dla \(\displaystyle{ a_n=\frac{2^n}{n!}}\) lub \(\displaystyle{ a_n=\frac{\varepsilon_n}{n!}}\) przy dowolnym wyborze znaków \(\displaystyle{ (\varepsilon_n)_{n=1}^\infty\in\{-1,+1\}^{\NN}}\). Jest wiele twierdzeń na ten temat, ale żadne się tu nie stosuje, bo mamy tempo (zaledwie) geometryczne. Stawiałbym, że podana suma jest wymierna.

[yorgin]

Może przemówi do Was bardziej uczona podpowiedź, że \(\displaystyle{ [\log_{10}n]}\) jest potęgą dziesiątki przy najwyższej cyfrze liczby \(\displaystyle{ n}\) w zapisie w systemie dziesiętnym.

To może wyjaśnij, co rozumiesz przez funkcję \(\displaystyle{ x\mapsto [x]}\), które ma zarezerwowane oznaczenie na cechę z liczby?

[Cutlass]

No, właśnie cechę. Dlatego nie objaśniałem tego oznaczenia.

[yorgin]

Jeżeli chciałeś, by ten szereg był zbieżny do \(\displaystyle{ 0.123456789101112...}\) gdzie po kropkach wypisuje się wszystkie liczby naturalne w rosnącej kolejności, to to nie działa, a nawet jeśli by zadziałało, to taka liczba jest niewymierna.