Czy szereg reprezentuje liczbę wymierną?

[Cutlass]

Właśnie o tę liczbę mi chodzi. Z jej postaci widać, że jest niewymierna. Chociaż może warto wspomnieć dlaczego.

Hm, a co tutaj nie działa? Może przybliżę jak ja ten wzór wytrzasnąłem. Tylko, że rozważymy tę liczbę razy \(\displaystyle{ \frac{1}{10}}\). Czyli chcemy uzyskać \(\displaystyle{ 0,0123456789101112\dots}\).

Bierzemy liczbę \(\displaystyle{ n>0}\) i przedstawiamy w systemie dziesiątkowym \(\displaystyle{ n=10^Nc_N+\dots +c_1 10 +c_0}\), wtedy, jak wspomniałem. \(\displaystyle{ [\log_{10}n]=N}\) oraz \(\displaystyle{ c_0=r_{10}(n)}\).
Spróbuje was przekonać, że poprzez następujące podzielenie
\(\displaystyle{ \frac{n}{10^{n+1+N(1+c_0)}}}\)
przesuniemy reprezentację \(\displaystyle{ n}\) na odpowiednie miejsce po przecinku.
Przekształcamy
\(\displaystyle{ \frac{1}{10^n}\frac{1}{10^{Nc_0}}\frac{n}{10^{N+1}}=\frac{1}{10^n}\frac{1}{10^{Nc_0}}0,c_N\dots c_1 c_0=0,0\dots 0c_N\dots c_1 c_0}\)
gdzie zer przed reprezentacją jest \(\displaystyle{ n+Nc_0}\)
Chyba już wiem co może nie działać... Ale dokończę. W każdej kolejnej dziesiątce liczb zaczynamy od liczby z ostatnią cyfrą \(\displaystyle{ c_0=0}\) i zajmuje ona \(\displaystyle{ N}\) miejsc dla następnej potrzebujemy kolejne \(\displaystyle{ N}\) wolnych miejsc, dlatego przesuwamy o \(\displaystyle{ N}\), ale dla następnej zerowa cyfra to \(\displaystyle{ c_0=1}\), stąd przesunięcie o \(\displaystyle{ c_0N}\). A przesunięcie o \(\displaystyle{ n}\) to po prostu przesunięcie o numer tej liczby... Ta tylko tu powinno być przesunięcie o sumę długości wszystkich poprzednich liczb (sprzed tej dziesiątki, bo wewnątrz dziesiątki działa reszta razy długość liczby) i to jest zdaje się ten problem.

Tak czy owak, chodziło o fajną liczbę \(\displaystyle{ 0,1234567891011121314151617\dots}\). Tak jak powiedział yorgin, wypisujemy kolejno liczby naturalne. Zanim "naprawię" szereg, chciałem zadać pytanie. Jak myślicie czy tego typu liczba jest liczbą Liouville'a?

[yorgin]

Właśnie o tę liczbę mi chodzi. Z jej postaci widać, że jest niewymierna. Chociaż może warto wspomnieć dlaczego.

Załóżmy, że jest wymierna i gdzieś w rozwinięciu pojawia się okres \(\displaystyle{ (a_1\ldots a_n)}\). Ale w badanej liczbie występuje również ciąg cyfr \(\displaystyle{ \overline{a_1\ldots a_n (a_1+1\mod 10)}}\), który jest dłuższy od okresu.

Hm, a co tutaj nie działa? [/latex].

Dla \(\displaystyle{ n=20}\) wykładnik dziesiątki w mianowniku to \(\displaystyle{ 20+1\cdot1=22}\). Spodziewaliśmy się wykładnika równego \(\displaystyle{ 30}\).

[thom]

Jeżeli tak, to odpowiednim zapisem mogłoby być np.

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\frac{n}{10^{n+\sum_{j<n}\lfloor\log_{10}j\rfloor}}}\),

ewentualnie przekształcony po wyliczeniu sumy

\(\displaystyle{ n+\sum_{j<n}\lfloor\log_{10}j\rfloor=1+9\sum_{k=1}^{\lfloor\log_{10}n\rfloor}k\cdot 10^{k-1}+\left(n-10^{\lfloor\log_{10}n\rfloor}\right)\left(\lfloor\log_{10}n\rfloor+1\right)}\)

(przedstawiającej numer miejsca po przecinku, na którym należy umieścić liczbę \(\displaystyle{ n}\)).

[Cutlass]

Załóżmy, że jest wymierna i gdzieś w rozwinięciu pojawia się okres \(\displaystyle{ (a_1\ldots a_n)}\). Ale w badanej liczbie występuje również ciąg cyfr \(\displaystyle{ \overline{a_1\ldots a_n (a_1+1\mod 10)}}\), który jest dłuższy od okresu.

Tzn. mi tylko chodziło o podkreślenie, że jest ułamkiem o nieskończonym i nieokresowym rozwinięciu. Oczywiście, znajdziemy tak ciąg cyfr, chociaż formalne wskazanie jego położenia mogłoby być męczące, ale gra nie jest warta świeczki.

Jeżeli tak, to odpowiednim zapisem mogłoby być np.

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\frac{n}{10^{n+\sum_{j<n}\lfloor\log_{10}j\rfloor}}}\),

Słuszna koncepcja. Zabawne, że nie wpadłem na to od samego początku. Ale ja często początkowo myślę strasznie chaotycznie.

\(\displaystyle{ n+\sum_{j<n}\lfloor\log_{10}j\rfloor=1+9\sum_{k=1}^{\lfloor\log_{10}n\rfloor}k\cdot 10^{k-1}+\left(n-10^{\lfloor\log_{10}n\rfloor}\right)\left(\lfloor\log_{10}n\rfloor+1\right)}\)

Tak to powinno wyglądać! Jest tylko problem zapisu z sumą, bywa, że \(\displaystyle{ \lfloor\log_{10}n\rfloor}\) wynosi zero. Chyba, że świadomie uznałeś, że wystąpi suma po zbiorze pustym, która będzie zerowa, co się pokrywa z naszym wzorem.

Tak czy owak, dzięki wszystkim za pomoc. Wzór wyszedł koszmarny, a szkoda, bo zapis liczby w postaci ułamkowej był ładny. Muszę sobie niestety wymyślić fajniejszą liczbę, chociaż nadal mnie ciekawi, czy dałoby się pokazać, że jest ona liczbą Liouville'a.

[thom]

Chyba, że świadomie uznałeś, że wystąpi suma po zbiorze pustym, która będzie zerowa, co się pokrywa z naszym wzorem.

Tak, taka suma po zbiorze pustym to z definicji zero.

Wzór wyszedł koszmarny, a szkoda, bo zapis liczby w postaci ułamkowej był ładny.

Jeżeli ktoś ma ochotę, to można jeszcze obliczyć \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\lfloor\log_{10}n\rfloor}k\cdot 10^{k-1}}\) i mieć wówczas wykładnik w mianowniku w postaci "zwartej" A pomysł na zadanie był bardzo fajny.