kongrugencja - układ do rozwiązania

[chrobok666]

Dzień dobry zwracam się do Was z następującym problemem: jak mam rozwiązać następujący układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
3x = 5(mod 19)\\7x = 4(mod 17)
\end{cases}}\)

na zajęciach robiliśmy metodą z tabelką ale prostsze układy i nie za bardzo wiadomo było co robimy znalazłem na internecie pewną metodę ale utknąłem w jednym miejscu:

\(\displaystyle{ 3x=5(mod 19) = 24 (mod 19)\\
x=8 (mod 19)\\
x=19n+8\\\\

7x=4(mod 17)\\
7(19n+8)=4(mod 17)\\
133n+56=4(mod 17)\\
133n=-52(mod 17)= i dalej nie wiem co zrobić}\)

z góry dziękuję za pomoc

[robertm19]

Poczytaj o Chińskim Twierdzeniu o Resztach.

[chrobok666]

ok ale do tego momentu co zrobiłem jest dobrze?

[robertm19]

\(\displaystyle{ 3x=5(mod 19) = 24 (mod 19)}\) tego nie rozumiem. Skąd 24?
Ok już widzę. Dobrze jest do tego momentu, w którym skończyłeś.

[porfirion]

Hej! Na początku warto by było przemnożyć, pierwsze równanie przez \(\displaystyle{ 3^{17}}\), a drugie przez \(\displaystyle{ 7^{15}}\). To mocno uprości całe zadanie, bo na mocy MTF:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x \equiv 3^{17} \cdot 5 \pmod {19} \\x \equiv 4 \cdot 7^{15} \pmod {17} \end{cases}}\)
A to już trudne nie jest