Matematyka.pl

Wykaż, że jeżeli \(\displaystyle{ n \in N \ i \ n}\) nie jest podzielne przez \(\displaystyle{ 3}\), to \(\displaystyle{ n^{2}+2}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 3}\)

Wiem , że największą resztą jaka może wystąpić po podzieleniu przez 3 wynosi 2, ale nie wiem jak to wykażać

Z tego że \(\displaystyle{ n}\) nie jest podzielne przez \(\displaystyle{ 3}\) wynika że liczba \(\displaystyle{ n}\) przy dzieleniu przez trzy daje resztę jeden - czyli jest postaci \(\displaystyle{ 3k+1}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ k}\) naturalnego; bądź daje resztę dwa - czyli \(\displaystyle{ 3k+2}\).

Zadanie sprowadza się do wykazania, że liczby \(\displaystyle{ (3k+1)^2+2}\) oraz \(\displaystyle{ (3k+2)^2+2}\) są podzielne przez \(\displaystyle{ 3}\) a to chyba nie jest trudne.

jeżeli \(\displaystyle{ n}\) nie jest podzielne przez \(\displaystyle{ 3}\) to
\(\displaystyle{ n = 3k+1 \vee n = 3k+2, k\in \mathbb{N}\\
\\
\left(3k+1\right)^2 + 2 = 9k^2 + 6k + 3 = 3\left(3k^2 + 2k + 1\right)\\
\\
\left(3k+2\right)^2 + 2 = 9k^2 + 12k + 6 = 3\left(3k^2 + 4k + 2\right)}\)