równanie diofantyczn- różne wyniki

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
yasiek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 10 sie 2013, o 15:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

równanie diofantyczn- różne wyniki

Post autor: yasiek » 11 sie 2013, o 07:43

Mam problem z równaniem diofantycznym (http://inf.ug.edu.pl/~stefan/Dydaktyka/ ... 09/zad.pdf - zadanie 0 przykład 2)
Chciałem je zrobić metodą Eulera ze strony
http://tages.fm.interia.pl/diofantos.html
ale jak widać wyszedł trochę inny wynik niż w odpowiedzi, czy zrobiłem źle czy wynik jest dobry lecz inaczej zapisany?

\(\displaystyle{ 140x-63y=35}\)
\(\displaystyle{ NWD \left( 140,63 \right) =7}\)
\(\displaystyle{ 7/37}\)
liczba ma rozwiązania w liczbach całkowitych
\(\displaystyle{ -63y=35-140x}\)
\(\displaystyle{ y=- \frac{35-140x}{63}}\)
\(\displaystyle{ y=- \left( \frac{35}{63}- \frac{140x}{63} \right) =- \left( \frac{35}{63} -2x- \frac{14x}{63} \right) =}\)
\(\displaystyle{ =2x+ \frac{14x-35}{63}}\)

\(\displaystyle{ n _{1}= \frac{14x-35}{63}}\)

\(\displaystyle{ 63n _{1}=14x-35}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{63n _{1} +35}{14}}\)

\(\displaystyle{ x=4n _{1} + \frac{7n _{1} }{14} +2+ \frac{7}{14} = 4n _{1} +2+ \frac{7n _{1} +7}{14}}\)
\(\displaystyle{ n _{2} =\frac{7n _{1} +7}{14}}\)

\(\displaystyle{ 14n _{2}=7n _{1} +7}\)
\(\displaystyle{ 14n _{2}-7=7n _{1}}\)
\(\displaystyle{ n _{1} = \frac{14n _{2} -7}{7} =2n _{2} -1}\)
odzyskać x i y
x:
\(\displaystyle{ x=4n _{1} +2+ \frac{7 n_{1} +7}{14} =4 \left( 2n _{2} -1 \right) +2+ \frac{7 \left( 2n _{2} -1 \right) +7}{14}=}\)
\(\displaystyle{ =8n _{2}-4+2+ \frac{14n _{2}-7+7 }{14}=9n _{2} -2}\)

y:
\(\displaystyle{ y=2x+ \frac{14x-35}{63} =2 \left( 9n _{2}-2 \right) + \frac{14 \left( 9n _{2} -2 \right) -35}{63} =}\)
\(\displaystyle{ =18n _{2}-4+ \frac{126n _{2} -63}{63} =18n _{2} -4+2n _{2} -1=20n _{2} -5}\)

\(\displaystyle{ x=9n-2}\)
\(\displaystyle{ y=20n-5}\)

I jeszcze jedno pytanie do tematu - jak znaleźć wszystkie rozwiązania równań tego typu w liczbach całkowitych?

Z góry dziękuję za pomoc i pozdrawiam
Ostatnio zmieniony 11 sie 2013, o 13:05 przez Ponewor, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Skaluj nawiasy.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Martingale
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 76
Rejestracja: 9 lip 2013, o 10:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Stuttgart
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 10 razy

równanie diofantyczn- różne wyniki

Post autor: Martingale » 11 sie 2013, o 09:46

Dobrze policzony największy wspólny dzielnik, potem literówka (bo \(\displaystyle{ 7|35}\).

\(\displaystyle{ n_2}\) można było natychmiast skrócić do postaci \(\displaystyle{ \frac{n_1+1}{2}}\).

A tak właściwie, to otrzymałeś poprawne rozwiązanie. Tzn. jeżeli \(\displaystyle{ n \in \mathbb N}\), to sparametryzowałeś wszystkie istniejące rozwiązania równania na górze (nie mogę otworzyć pliku, link nie działa)

yasiek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 10 sie 2013, o 15:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

równanie diofantyczn- różne wyniki

Post autor: yasiek » 11 sie 2013, o 12:00

http://inf.ug.edu.pl/~stefan/Dydaktyka/ MatDysk/Cw09/zad.pdf to jest poprwny link tylko bz spacji

Awatar użytkownika
Martingale
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 76
Rejestracja: 9 lip 2013, o 10:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Stuttgart
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 10 razy

równanie diofantyczn- różne wyniki

Post autor: Martingale » 15 sie 2013, o 10:18

To jest to samo, tylko zapisane inaczej, \(\displaystyle{ 9x-20 = 9(x-2)-2}\), a \(\displaystyle{ x \mapsto x-2}\) jest bijekcją.

ODPOWIEDZ