Rozwinięcie dziesiętne pi, a w nim zawarte dowolne ciągi cyf

[chris_f]

Gdzieś kiedyś, dawno temu, przeczytałem taką ciekawostkę, że w rozwinięciu dziesiętnym \(\displaystyle{ \pi}\) można znaleźć dowolny skończony ciąg cyfr (zadany z góry). \(\displaystyle{ \pi}\) to akurat przykład, mogła by to być inna liczba przestępna. Czy ktoś ma może linka do tej ciekawostki, albo do twierdzenia, że coś takiego jest prawdą? I czy to rzeczywiście jest prawdą?
Teoria liczb nie jest moją mocną stroną, stąd też to pytanie.

[Marcinek665]

Pisała o tym Wisława Szymborska

Liczba Pi

Podziwu godna liczba Pi
trzy koma jeden cztery jeden.
Wszystkie jej dalsze cyfry też są początkowe,
pięć dziewięć dwa ponieważ nigdy się nie kończy.
Nie pozwala się objąć sześć pięć trzy pięć spojrzeniem
osiem dziewięć obliczeniem
siedem dziewięć wyobraźnią,
a nawet trzy dwa trzy osiem żartem, czyli porównaniem
cztery sześć do czegokolwiek
dwa sześć cztery trzy na świecie.
Najdłuższy ziemski wąż po kilkunastu metrach się urywa
podobnie, choć trochę później, czynią węże bajeczne.
Korowód cyfr składających się na liczbę Pi
nie zatrzymuje się na brzegu kartki,
potrafi ciągnąć się po stole, przez powietrze,
przez mur, liść, gniazdo ptasie, chmury, prosto w niebo,
Jak wątły promień gwiazdy, że zakrzywia się w lada przestrzeni!
A tu dwa trzy piętnaście trzysta dziewiętnaście
mój numer telefonu twój numer koszuli
rok tysiąc dziewięćset siedemdziesiąty trzeci szóste piętro
ilość mieszkańców sześćdziesiąt pięć groszy
obwód w biodrach dwa palce szarada i szyfr,
w którym słowiczku mój a leć, a piej
oraz uprasza się zachować spokój,
a także ziemia i niebo przeminą,
ale nie liczba Pi, co to to nie,
ona wciąż swoje niezłe jeszcze pięć,
nie byle jakie osiem,
nieostatnie siedem,
przynaglając, ach, przynaglając gnuśną wieczność

Okazało się, że liczby, w których rozwinięciu występuje dowolna liczba nazywamy liczbami Szymborskiej. Dowód pewnie będzie trudny.

BTW nie każda liczba przestępna jest liczbą Szymborskiej. Za przykład może posłużyć liczba

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{10^{n!}}}\)

W której rozwinięciu mamy same \(\displaystyle{ 0}\) i \(\displaystyle{ 1}\).

[yorgin]

To chyba jest fakt, który wydaje się być prawdziwy, ale pozostaje dalej hipotezą.





Rzuć okiem, poczytaj

[Marcinek665]

yorgin, bo Twoje znaleziska są stosunkowo stare. Twierdzenie to udowodniono dwa lata temu i odtąd określenie "liczby Szymborskiej" jest matematycznie poprawne. Odsyłam np. tutaj ... skiej.html

[yorgin]

O, a to ciekawe. Poza tym moje odsyłacze zawierają informacje z bieżącego roku. Być może autorzy tych komentarzy nie wiedzieli tak samo jak ja, że ta hipoteza została wykazana.

[chris_f]

Kurcze dzięki, ten wiersz gdzieś czytałem, teraz się przypomniał. To takie wakacyjne pytanie było, ale człowiek cały czas się czegoś dowiaduje.
Faktycznie dowód musi być wredny. Znalazłem coś o liczbach "normalnych"

i tam dalej jest
"it is widely believed that the numbers \(\displaystyle{ \sqrt{2},\pi,e}\) are normal, but a proof remains elusive."
Ale jeszcze poszperam. Dzięki jeszcze raz za pomoc.

[Dawidk01]

O co chodzi z tymi liczbami normalnymi, bo nie ogarniam angielskiego. Coś kiedyś obilo mi się o uszy o rozkladach liczb w rozwinięciu dziesietnym liczb przestępnych, ale nie wiem o co dokładnie chodzi.
Drugie pytanie: czy zna ktoś dowód tego twierdzenia o liczbach Szymborskiej? Jest on do ogarniecia dla zwykłego studenta matematyki, który nie miał do czynienia z teorią liczb?
I co to znaczy, że można znaleźć skończony ciąg liczb. Tzn.intuicyjnie to rozumiem, ale dlaczego nie nieskończone. Wczoraj akurat zacząłem zastanawiać się, skoro rozwinięcie pi jest nieskończone, to jaką moc ma zbiór cyfr tego rozwinięcia? Pewnie jest on rownoliczny z naturalnymi, ale pewności nie mam. Czy zatem te liczby Szymborskiej mogą coś zmienić w postrzeganiu pi?