Matematyka.pl

Jaka musi być zależność między całkowitymi dodatnimi liczbami \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\), aby nie istniało takie naturalne \(\displaystyle{ n}\) że: \(\displaystyle{ a^{n}\equiv1 (mod}\) \(\displaystyle{ b)}\).
Oczywiście \(\displaystyle{ n\ge2}\)

Hmh...
\(\displaystyle{ a=2 \\ b=3\\(2,3)=1\\ 2^2\equiv 1 \pmod{3}}\)
Czyli istnieje takie \(\displaystyle{ n}\) mimo, że \(\displaystyle{ (a,b)=1}\)

A dobra przeczytałem istniało No to \(\displaystyle{ (a,b) \neq 1}\)

Dzięki za warunek, a mógłbyś mi to jakoś uzasadnić ?

Jeżeli \(\displaystyle{ (a,b)=1}\) to istnieje takie \(\displaystyle{ n}\), wystarczy przyjąć \(\displaystyle{ n=\phi(b)}\) (twierdzenie Eulera), a jeżeli \(\displaystyle{ (a,b) \neq 1}\), to zakładając nie wprost, że istnieje takie \(\displaystyle{ n}\), bierzemy dowolną liczbę pierwszą \(\displaystyle{ p \mid (a,b)}\), wówczas \(\displaystyle{ a^n \equiv 1\pmod{b} \Rightarrow a^n \equiv 1\pmod{p} \Rightarrow 0 \equiv 1\pmod{p}}\)

sprzeczność.