Podzielność kolejnych kwadratów

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
realityoppa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 117
Rejestracja: 26 gru 2012, o 16:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 54 razy
Pomógł: 10 razy

Podzielność kolejnych kwadratów

Post autor: realityoppa » 23 lip 2013, o 13:58

Znajdź wszystkie takie całkowite dodatnie \(\displaystyle{ d}\) że \(\displaystyle{ d| n^{2}+1}\) i \(\displaystyle{ d| (n+1)^{2}+1}\) dla pewnego naturalnego \(\displaystyle{ n}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

bakala12
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3044
Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gołąb
Podziękował: 24 razy
Pomógł: 513 razy

Podzielność kolejnych kwadratów

Post autor: bakala12 » 23 lip 2013, o 14:24

Skoro \(\displaystyle{ d}\) dzieli te dwie liczby to dzieli też ich sumę i różnice Wyjdzie \(\displaystyle{ d=1}\).

robertm19
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1847
Rejestracja: 8 lip 2008, o 21:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów/Warszawa
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 378 razy

Podzielność kolejnych kwadratów

Post autor: robertm19 » 23 lip 2013, o 15:05

bakala12,
sprawdź dla \(\displaystyle{ n=2}\) i \(\displaystyle{ n=7}\). Wychodzi \(\displaystyle{ d>1}\).

Awatar użytkownika
yorgin
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Podzielność kolejnych kwadratów

Post autor: yorgin » 23 lip 2013, o 15:11

bakala12 pisze:Skoro \(\displaystyle{ d}\) dzieli te dwie liczby to dzieli też ich sumę i różnice Wyjdzie \(\displaystyle{ d=1}\).
Z tego wyjdzie co najwyżej, że \(\displaystyle{ d}\) jest nieparzysta.

Awatar użytkownika
Vax
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2913
Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 611 razy

Podzielność kolejnych kwadratów

Post autor: Vax » 23 lip 2013, o 15:21

Pomysł ok, niech \(\displaystyle{ d \mid n^2+1 \wedge d \mid n^2+2n+2 \Rightarrow d \mid 2n+1}\)

Ale \(\displaystyle{ d \mid n^2+1 \Rightarrow d \mid 4n^2+4 = (2n+1)^2 - 4n+3 \iff d \mid 4n-3}\)

Czyli \(\displaystyle{ d \mid 4n-3 \wedge d \mid 4n+2 \Rightarrow d \mid 4n+2-(4n-3) = 5 \iff d = 1 \vee d=5}\)

Awatar użytkownika
Gouranga
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1450
Rejestracja: 16 maja 2013, o 17:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Trójmiasto
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 219 razy

Podzielność kolejnych kwadratów

Post autor: Gouranga » 23 lip 2013, o 16:00

\(\displaystyle{ d \mid \left(n + 1\right)^2 + 1\\ d \mid n^2 + 2n + 2\\ d \mid n^2 + 1 + 2n + 1 \wedge d \mid n^2 + 1 \Rightarrow d \mid 2n+1\\}\)
Więc na pewno nie będzie konkretnie \(\displaystyle{ d = 1}\) bo dla każdego nieparzystego n zachodzi też \(\displaystyle{ d=2}\)

bakala12
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3044
Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gołąb
Podziękował: 24 razy
Pomógł: 513 razy

Podzielność kolejnych kwadratów

Post autor: bakala12 » 23 lip 2013, o 16:32

Widzę walnąłem się w rachunkach. Dzięki za zwrócenie uwagi. Gouranga, nie może być \(\displaystyle{ d=2}\).

ODPOWIEDZ