Ile jest trójek liczb całkowitych

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Lukassz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 147
Rejestracja: 10 lut 2010, o 20:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowe
Podziękował: 17 razy

Ile jest trójek liczb całkowitych

Post autor: Lukassz »

Mam problem z zadaniem:

Ile jest trójek liczb całkowitych \(\displaystyle{ (x_1,x_2,x_3)}\) takich, że

\(\displaystyle{ x_{1} + x_{2} + x_{3} = 20}\)
oraz
\(\displaystyle{ -10 \le x_{1}, x _{2}, x _{3} \le 10}\)

Jak się do tego zabrać?


Pozdrawiam
Ostatnio zmieniony 30 sie 2013, o 01:17 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nie stosuj wzorów matematycznych w nazwie tematu. Poprawa wiadomości.
gryxon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 311
Rejestracja: 30 gru 2011, o 02:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Puławy
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 53 razy

Ile jest trójek liczb całkowitych

Post autor: gryxon »

Oczywiście \(\displaystyle{ x_{1},x_{2},x_{3} \ge 0}\) ponieważ gdyby było inaczej to:

\(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}+x_{3} < 20}\)

Wydaje mi się że troche tych trójek będzie... ;p
bakala12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3044
Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gołąb
Podziękował: 24 razy
Pomógł: 513 razy

Ile jest trójek liczb całkowitych

Post autor: bakala12 »

Można założyć na początek przykładowo, że \(\displaystyle{ x _{1} \le x_{2} \le x_{3}}\) i analiza przypadków. Potem żeby uwolnić się od tego założenia wystarczy popermutować te trójki. Poza tym najmniejsza z tych liczb musi być nieujemna.

-- 20 lip 2013, o 15:23 --

gryxon, nie aż tak super dużo, tylko 66.-- 20 lip 2013, o 15:31 --robertm19, wydaje mi się że liczysz te same trójki więcej niż raz. Na przykład trójkę \(\displaystyle{ \left(10;20;20 \right)}\) na igrekach liczysz 6 razy a powinna być policzona tylko 3 razy.
robertm19
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1847
Rejestracja: 8 lip 2008, o 21:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów/Warszawa
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 378 razy

Ile jest trójek liczb całkowitych

Post autor: robertm19 »

bakala12,
Skasowałem bo nie wziąłem pod uwagę ograniczenia górnego źle było
Awatar użytkownika
omicron
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 305
Rejestracja: 10 wrz 2009, o 19:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowy Sącz
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 39 razy

Ile jest trójek liczb całkowitych

Post autor: omicron »

To są problemy kombinatoryczne. W pierwszym musisz rozmieścić \(\displaystyle{ 20}\) kul w trzech szufladach. Liczba możliwych sposobów rozmieszczenia to liczba szukanych trójek. Odpowiedź to \(\displaystyle{ \overline{C}^{20}_3={22\choose 20}}\). Drugie to liczba rozmieszczeń \(\displaystyle{ 20}\) kul w trzech szufladach \(\displaystyle{ +}\) liczba rozmieszczeń \(\displaystyle{ 19}\) kul w trzech szufladach \(\displaystyle{ + ... +}\) liczba rozmieszczeń \(\displaystyle{ 0}\) kul w trzech szufladach.
bakala12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3044
Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gołąb
Podziękował: 24 razy
Pomógł: 513 razy

Ile jest trójek liczb całkowitych

Post autor: bakala12 »

Przy założeniu pewnego porządku zmiennych można sobie wypisać wszystkie trójki a potem je w odpowiedni sposób popermutować, oczywiście stosujemy wzór na permutacje z powtórzeniami.
robertm19
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1847
Rejestracja: 8 lip 2008, o 21:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów/Warszawa
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 378 razy

Ile jest trójek liczb całkowitych

Post autor: robertm19 »

Wyszła mi całkiem zacna liczba: \(\displaystyle{ 150}\)
Edit: \(\displaystyle{ 66}\) po poprawkach w zliczaniu .
Kamaz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 127
Rejestracja: 13 kwie 2013, o 13:44
Płeć: Kobieta
Pomógł: 21 razy

Ile jest trójek liczb całkowitych

Post autor: Kamaz »

Korzystając ze wskazówki Pana Omicrona dostajemy wynik \(\displaystyle{ \binom{22}2-3\cdot\binom{11}2=66}\).
robertm19
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1847
Rejestracja: 8 lip 2008, o 21:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów/Warszawa
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 378 razy

Ile jest trójek liczb całkowitych

Post autor: robertm19 »

KAMAZ pisze:Korzystając ze wskazówki Pana Omicrona dostajemy wynik \(\displaystyle{ \binom{22}2-3\cdot\binom{11}2=66}\).
Skąd takie liczby?
Kamaz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 127
Rejestracja: 13 kwie 2013, o 13:44
Płeć: Kobieta
Pomógł: 21 razy

Ile jest trójek liczb całkowitych

Post autor: Kamaz »

Od liczby wszystkich rozmieszczeń dwudziestu kul w trzech komórkach odejmuję liczbę tych rozmieszczeń, gdzie w jednej komórce jest ponad dziesięć kul.
Awatar użytkownika
omicron
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 305
Rejestracja: 10 wrz 2009, o 19:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowy Sącz
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 39 razy

Ile jest trójek liczb całkowitych

Post autor: omicron »

KAMAZ mogę wiedzieć, dlaczego trójka \(\displaystyle{ (20,0,0)}\) miałaby nie spełniać równania \(\displaystyle{ x_1+x_2+x_3=20}\)? Mi się wydawało, iż podałem wynik nie wskazówkę. Chyba, że chodzi o drugi problem, ale to też wydaje mi się dziwne, że liczba trójek dla nierówności jest mniejsza niż dla równości.
Awatar użytkownika
Msciwoj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 229
Rejestracja: 18 lut 2012, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Londyn
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 36 razy

Ile jest trójek liczb całkowitych

Post autor: Msciwoj »

omicron, to nie są dwa problemy, tylko jeden. Przeczytaj uważnie pierwszy post.

Potwierdzam, mi też wyszło 66.
Awatar użytkownika
omicron
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 305
Rejestracja: 10 wrz 2009, o 19:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowy Sącz
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 39 razy

Ile jest trójek liczb całkowitych

Post autor: omicron »

Racja. Przepraszam za zamieszanie.
Lukassz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 147
Rejestracja: 10 lut 2010, o 20:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowe
Podziękował: 17 razy

Ile jest trójek liczb całkowitych

Post autor: Lukassz »

Okej, rozumiem. A co zrobić z liczbami minusowymi, które są w warunku? Jeżeli weźmiemy liczbę ujemną do kombinacji trzech liczb to nie znajdziemy takiej kombinacji która spełniała by podany warunek.
bakala12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3044
Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gołąb
Podziękował: 24 razy
Pomógł: 513 razy

Ile jest trójek liczb całkowitych

Post autor: bakala12 »

Zauważ, że biorąc pewne ujemne \(\displaystyle{ x _{1}}\) musiałoby być:
\(\displaystyle{ 20=x _{1}+ x _{2}+ x _{3} \le x _{1}+10+10=20+x _{1}<20}\)
sprzeczność. Zatem nie może być \(\displaystyle{ x _{1}<0}\). Zatem \(\displaystyle{ x _{1}, \ x _{2}, \ x _{3} \ge 0}\)
ODPOWIEDZ