Ile jest trójek liczb całkowitych
-
- Użytkownik
- Posty: 147
- Rejestracja: 10 lut 2010, o 20:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Nowe
- Podziękował: 17 razy
Ile jest trójek liczb całkowitych
Mam problem z zadaniem:
Ile jest trójek liczb całkowitych \(\displaystyle{ (x_1,x_2,x_3)}\) takich, że
\(\displaystyle{ x_{1} + x_{2} + x_{3} = 20}\)
oraz
\(\displaystyle{ -10 \le x_{1}, x _{2}, x _{3} \le 10}\)
Jak się do tego zabrać?
Pozdrawiam
Ile jest trójek liczb całkowitych \(\displaystyle{ (x_1,x_2,x_3)}\) takich, że
\(\displaystyle{ x_{1} + x_{2} + x_{3} = 20}\)
oraz
\(\displaystyle{ -10 \le x_{1}, x _{2}, x _{3} \le 10}\)
Jak się do tego zabrać?
Pozdrawiam
Ostatnio zmieniony 30 sie 2013, o 01:17 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nie stosuj wzorów matematycznych w nazwie tematu. Poprawa wiadomości.
Powód: Nie stosuj wzorów matematycznych w nazwie tematu. Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 311
- Rejestracja: 30 gru 2011, o 02:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Puławy
- Podziękował: 11 razy
- Pomógł: 53 razy
Ile jest trójek liczb całkowitych
Oczywiście \(\displaystyle{ x_{1},x_{2},x_{3} \ge 0}\) ponieważ gdyby było inaczej to:
\(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}+x_{3} < 20}\)
Wydaje mi się że troche tych trójek będzie... ;p
\(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}+x_{3} < 20}\)
Wydaje mi się że troche tych trójek będzie... ;p
-
- Użytkownik
- Posty: 3044
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gołąb
- Podziękował: 24 razy
- Pomógł: 513 razy
Ile jest trójek liczb całkowitych
Można założyć na początek przykładowo, że \(\displaystyle{ x _{1} \le x_{2} \le x_{3}}\) i analiza przypadków. Potem żeby uwolnić się od tego założenia wystarczy popermutować te trójki. Poza tym najmniejsza z tych liczb musi być nieujemna.
-- 20 lip 2013, o 15:23 --
gryxon, nie aż tak super dużo, tylko 66.-- 20 lip 2013, o 15:31 --robertm19, wydaje mi się że liczysz te same trójki więcej niż raz. Na przykład trójkę \(\displaystyle{ \left(10;20;20 \right)}\) na igrekach liczysz 6 razy a powinna być policzona tylko 3 razy.
-- 20 lip 2013, o 15:23 --
gryxon, nie aż tak super dużo, tylko 66.-- 20 lip 2013, o 15:31 --robertm19, wydaje mi się że liczysz te same trójki więcej niż raz. Na przykład trójkę \(\displaystyle{ \left(10;20;20 \right)}\) na igrekach liczysz 6 razy a powinna być policzona tylko 3 razy.
- omicron
- Użytkownik
- Posty: 305
- Rejestracja: 10 wrz 2009, o 19:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Nowy Sącz
- Podziękował: 10 razy
- Pomógł: 39 razy
Ile jest trójek liczb całkowitych
To są problemy kombinatoryczne. W pierwszym musisz rozmieścić \(\displaystyle{ 20}\) kul w trzech szufladach. Liczba możliwych sposobów rozmieszczenia to liczba szukanych trójek. Odpowiedź to \(\displaystyle{ \overline{C}^{20}_3={22\choose 20}}\). Drugie to liczba rozmieszczeń \(\displaystyle{ 20}\) kul w trzech szufladach \(\displaystyle{ +}\) liczba rozmieszczeń \(\displaystyle{ 19}\) kul w trzech szufladach \(\displaystyle{ + ... +}\) liczba rozmieszczeń \(\displaystyle{ 0}\) kul w trzech szufladach.
-
- Użytkownik
- Posty: 3044
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gołąb
- Podziękował: 24 razy
- Pomógł: 513 razy
Ile jest trójek liczb całkowitych
Przy założeniu pewnego porządku zmiennych można sobie wypisać wszystkie trójki a potem je w odpowiedni sposób popermutować, oczywiście stosujemy wzór na permutacje z powtórzeniami.
-
- Użytkownik
- Posty: 1847
- Rejestracja: 8 lip 2008, o 21:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Staszów/Warszawa
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 378 razy
Ile jest trójek liczb całkowitych
Wyszła mi całkiem zacna liczba: \(\displaystyle{ 150}\)
Edit: \(\displaystyle{ 66}\) po poprawkach w zliczaniu .
Edit: \(\displaystyle{ 66}\) po poprawkach w zliczaniu .
Ile jest trójek liczb całkowitych
Korzystając ze wskazówki Pana Omicrona dostajemy wynik \(\displaystyle{ \binom{22}2-3\cdot\binom{11}2=66}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 1847
- Rejestracja: 8 lip 2008, o 21:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Staszów/Warszawa
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 378 razy
Ile jest trójek liczb całkowitych
Skąd takie liczby?KAMAZ pisze:Korzystając ze wskazówki Pana Omicrona dostajemy wynik \(\displaystyle{ \binom{22}2-3\cdot\binom{11}2=66}\).
Ile jest trójek liczb całkowitych
Od liczby wszystkich rozmieszczeń dwudziestu kul w trzech komórkach odejmuję liczbę tych rozmieszczeń, gdzie w jednej komórce jest ponad dziesięć kul.
- omicron
- Użytkownik
- Posty: 305
- Rejestracja: 10 wrz 2009, o 19:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Nowy Sącz
- Podziękował: 10 razy
- Pomógł: 39 razy
Ile jest trójek liczb całkowitych
KAMAZ mogę wiedzieć, dlaczego trójka \(\displaystyle{ (20,0,0)}\) miałaby nie spełniać równania \(\displaystyle{ x_1+x_2+x_3=20}\)? Mi się wydawało, iż podałem wynik nie wskazówkę. Chyba, że chodzi o drugi problem, ale to też wydaje mi się dziwne, że liczba trójek dla nierówności jest mniejsza niż dla równości.
-
- Użytkownik
- Posty: 147
- Rejestracja: 10 lut 2010, o 20:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Nowe
- Podziękował: 17 razy
Ile jest trójek liczb całkowitych
Okej, rozumiem. A co zrobić z liczbami minusowymi, które są w warunku? Jeżeli weźmiemy liczbę ujemną do kombinacji trzech liczb to nie znajdziemy takiej kombinacji która spełniała by podany warunek.
-
- Użytkownik
- Posty: 3044
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gołąb
- Podziękował: 24 razy
- Pomógł: 513 razy
Ile jest trójek liczb całkowitych
Zauważ, że biorąc pewne ujemne \(\displaystyle{ x _{1}}\) musiałoby być:
\(\displaystyle{ 20=x _{1}+ x _{2}+ x _{3} \le x _{1}+10+10=20+x _{1}<20}\)
sprzeczność. Zatem nie może być \(\displaystyle{ x _{1}<0}\). Zatem \(\displaystyle{ x _{1}, \ x _{2}, \ x _{3} \ge 0}\)
\(\displaystyle{ 20=x _{1}+ x _{2}+ x _{3} \le x _{1}+10+10=20+x _{1}<20}\)
sprzeczność. Zatem nie może być \(\displaystyle{ x _{1}<0}\). Zatem \(\displaystyle{ x _{1}, \ x _{2}, \ x _{3} \ge 0}\)