Twierdzenie o liczbach podzielnych przez 11

Gucio · Post autor: **Gucio** » 11 kwie 2007, o 20:53

Witam,
mam problem z zadaniem:

Udowodnij twierdzenie: "Jeżeli w czterocyfrowej liczbie naturalnej suma cyfr tysięcy i dziesiątek jest równa sumie cyfr setek i jedności, to ta liczba jest podzielna przez jedenaście".

Co Wy na to? jak ktos potrafi, prosze o odpowiedz... z góry dziekuje.

mol_ksiazkowy · Post autor: **mol_ksiazkowy** » 11 kwie 2007, o 21:09

N=1000a+100b+10c +d =
= 1001a +99b +11c + (-a -c+b+d)

zal a+c=b+d

Gucio · Post autor: **Gucio** » 12 kwie 2007, o 08:47

mol_ksiazkowy pisze: N=1000a+100b+10c +d =
= 1001a +99b +11c + (-a -c+b+d)

zal a+c=b+d

Dzieki za rozwiazanie, ale czy to wystarczy aby powiedziec ze liczba dzieli sie przez 11 ?

Doszedlem do tego ze mozna wyciagnac 11 przed nawias, i wtedy juz nie ma watpliwosci czy sie dzieli czy nie.
Moje rozumowanie:

X=A*10^3+B*10^2+C*10+D
A+C=B+D= np K
1000A+10C=1000(A+C)-990C
100B+D=100(B+D)-99D
X=1000K-990C+100K-99D
X=1100K-990C-99D
X=11*(100K-90C-9D)

Czyli X dzieli sie bez reszty przez 11.

Czy to rozumowanie jest dobre? Mi sie wydaje ze tak.

kolanko · Post autor: **kolanko** » 12 kwie 2007, o 09:58

Jak najbardziej ...

dzudoka · Post autor: **dzudoka** » 16 kwie 2007, o 14:48

A mozna to udowodnic indukcyjnie ?