kongruencje liniowe z jedną niewiadomą

[JakubCh]

kiedy układ kongruencji liniowych z jedną niewiadomą ma rozwiązania?

[Kamaz]

Zawsze można rozwiązać i zobaczyć, czy są rozwiązania. Jeśli chcemy tylko sprawdzić, czy są rozwiązania, to proponuję następujący sposób:

1. Każdą kongruencję \(\displaystyle{ ax\equiv b \pmod{p_1^{k_1}\cdot p_2^{k_2}\cdot\ldots\cdot p_l^{k_l}}}\) zamieniamy na układ \(\displaystyle{ l}\) kongruencji (modulo \(\displaystyle{ p_1^{k_1}}\), modulo \(\displaystyle{ p_2^{k_2}}\) itd.)

2. Dla każdej liczby pierwszej \(\displaystyle{ p}\) sprawdzamy, czy wszystkie otrzymane kongruencje modulo \(\displaystyle{ p^k}\) są zgodne, czyli wybieramy kongruencję z największym wykładnikiem i patrzymy czy pozostałe z niej wynikają, czy są z nią sprzeczne.

[yorgin]

Można na to spojrzeć również przez pryzmat twierdzenia chińskiego o resztach. Pod pewnymi bardzo prostymi założeniami (parami względnie pierwsze moduły kongruencji) dostajemy istnienie rozwiązania.

Ale oczywiście trafna jest uwaga od KAMAZ, by najpierw przekształcić równania i/lub je uprościć.

[JakubCh]

a moglibyście mi jeszcze napisać tak z grubsza co zrobić w tym wypadku:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x \equiv 17 \left( mod 24\right) \\ x \equiv 11 \left( mod 18\right) \\ x \equiv 13 \left( mod 15\right) \end{cases}}\)

a co by było, gdybym 13 zmienił na 8?
bardzo proszę o pomoc, bo chciałbym to jak najlepiej zrozumieć przed egzaminem. Dzięki!

[Kartezjusz]

Policz NWW modułów .

[JakubCh]

i co dalej ?

[yorgin]

\(\displaystyle{ 24=3\cdot 8, \mbox{NWD}(3,8)=1\\
\\
x \equiv 17\mod 24 \Rightarrow \\
x \equiv 17\mod 3 \wedge x\equiv 17\mod 8 \Rightarrow\\
x \equiv 2\mod 3 \wedge x\equiv 1 \mod 8}\)

Tak samo robisz ze wszystkimi warunkami, potem duble usuwasz, oraz usuwasz te kongruencje, które wynikają z innych.

[JakubCh]

dziękuję bardzo!! tego mi było trzeba, nie wiem czemu tak długo do mnie nie dochodziło, że tak można robić