Znaleźć wszystkie liczby całkowite x takie, że.

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Lukassz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 147
Rejestracja: 10 lut 2010, o 20:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowe
Podziękował: 17 razy

Znaleźć wszystkie liczby całkowite x takie, że.

Post autor: Lukassz » 9 lip 2013, o 18:37

Witajcie mam takie zadania do którego nie wiem jak się zabrać. Możecie mi to wyjaśnić krok po kroku? Szukałem w google na temat układów kongruencji ale nic nie zrozumiałem.
Znaleźć wszystkie liczby całkowite x takie, że:

\(\displaystyle{ x\equiv 5 \pmod{7}}\)
\(\displaystyle{ 6x\equiv 3 \pmod{9}}\)
\(\displaystyle{ 4x\equiv 7 \pmod{11}}\)
Ostatnio zmieniony 9 lip 2013, o 19:41 przez yorgin, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Temat umieszczony w złym dziale.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18821
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3750 razy

Znaleźć wszystkie liczby całkowite x takie, że.

Post autor: szw1710 » 9 lip 2013, o 20:44

\(\displaystyle{ \ZZ_7}\) i \(\displaystyle{ \ZZ_{11}}\) są ciałami. Można sobie dzielić. Mamy \(\displaystyle{ 4^{-1}=3\pmod{11}}\). Więc mamy trzecie równanie w postaci \(\displaystyle{ x\equiv 7\cdot 3=10\pmod{11}}\). Z drugiej kongruencji tak łatwo \(\displaystyle{ x}\) nie wyznaczymy. Ale wyliczymy sobie teraz \(\displaystyle{ 6x}\). Więc

\(\displaystyle{ 6x\equiv 2\pmod{7},\quad 6x\equiv 3\pmod{9},\quad 6x\equiv 5\pmod{11}}\)

Może teraz łatwiejsze będzie wyznaczenie \(\displaystyle{ 6x}\).

Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 9834
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2629 razy

Znaleźć wszystkie liczby całkowite x takie, że.

Post autor: » 9 lip 2013, o 21:02

Drugie równanie prościej podzielić stronami przez trzy:
\(\displaystyle{ 2x\equiv 1 \pmod{3}}\)
i pomnożyć przez dwa:
\(\displaystyle{ x\equiv 2 \pmod{3}}\)

Q.

Awatar użytkownika
Vether
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 408
Rejestracja: 22 kwie 2013, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biała Podlaska
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 114 razy

Znaleźć wszystkie liczby całkowite x takie, że.

Post autor: Vether » 9 lip 2013, o 21:15

A trzecie pomnożyć przez \(\displaystyle{ 3}\):

\(\displaystyle{ 4x \equiv 7 \pmod {11}}\)

\(\displaystyle{ 12x \equiv 21 \pmod {11}}\)

\(\displaystyle{ x \equiv 10 \pmod {11}}\)

Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 9834
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2629 razy

Znaleźć wszystkie liczby całkowite x takie, że.

Post autor: » 9 lip 2013, o 21:18

Vether pisze:A trzecie pomnożyć przez \(\displaystyle{ 3}\)
No to akurat szw1710 już napisał (choć innymi słowami).

Q.

Awatar użytkownika
Vether
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 408
Rejestracja: 22 kwie 2013, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biała Podlaska
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 114 razy

Znaleźć wszystkie liczby całkowite x takie, że.

Post autor: Vether » 9 lip 2013, o 21:23

Zauważyłem coś w tym stylu... ale nie rozumiem, skąd to się wzięło xD Więc napisałem trochę prościej

Lukassz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 147
Rejestracja: 10 lut 2010, o 20:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowe
Podziękował: 17 razy

Znaleźć wszystkie liczby całkowite x takie, że.

Post autor: Lukassz » 13 lip 2013, o 13:15

Ok. Tylko nie rozumiem kroków w dzieleniu i mnożeniu kongruencji. Nie wiem skąd taki wynik.-- 13 lip 2013, o 13:45 --Dlaczego po pomnożeniu stronami przez 2 mamy
\(\displaystyle{ x\equiv 2 \pmod{3}}\)
a nie
\(\displaystyle{ 4x\equiv 2 \pmod{3}}\)

Awatar użytkownika
Vether
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 408
Rejestracja: 22 kwie 2013, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biała Podlaska
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 114 razy

Znaleźć wszystkie liczby całkowite x takie, że.

Post autor: Vether » 13 lip 2013, o 14:26

\(\displaystyle{ 4x \equiv 2 \pmod{3}}\)

ale przecież \(\displaystyle{ 4x \equiv x \pmod 3}\), skąd:

\(\displaystyle{ x \equiv 2 \pmod 3}\)

Lukassz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 147
Rejestracja: 10 lut 2010, o 20:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowe
Podziękował: 17 razy

Znaleźć wszystkie liczby całkowite x takie, że.

Post autor: Lukassz » 13 lip 2013, o 14:27

kurcze, nie rozumiem

Awatar użytkownika
Vether
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 408
Rejestracja: 22 kwie 2013, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biała Podlaska
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 114 razy

Znaleźć wszystkie liczby całkowite x takie, że.

Post autor: Vether » 13 lip 2013, o 15:54

Hm... mając \(\displaystyle{ a \equiv b \pmod n}\) możemy dowolnie dodawać do jednej ze stron całkowite wielokrotności \(\displaystyle{ n}\).


Dzieje się tak, ponieważ:

\(\displaystyle{ a \equiv b \pmod n \Leftrightarrow n|a-b}\).

Logiczne jest, że \(\displaystyle{ n|kn}\), gdzie \(\displaystyle{ k[ in Z}\), a więc \(\displaystyle{ n|a-b+kn \Leftrightarrow a+kn \equiv b \pmod n}\)


Skoro możemy dowolnie dodawać i odejmować (dla \(\displaystyle{ k<0}\)) wielokrotności \(\displaystyle{ n}\), to:

\(\displaystyle{ 4x \equiv 4x-3x \equiv x \pmod 3}\), ponieważ od \(\displaystyle{ 4x}\) odjęliśmy \(\displaystyle{ 3 \cdot x}\), a więc całkowitą wielokrotność \(\displaystyle{ 3}\).

Na mocy prawa przechodności mamy: \(\displaystyle{ x \equiv 2 \pmod 3}\)

Lukassz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 147
Rejestracja: 10 lut 2010, o 20:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowe
Podziękował: 17 razy

Znaleźć wszystkie liczby całkowite x takie, że.

Post autor: Lukassz » 20 lip 2013, o 11:13

Ok i jak bym miał zamiast\(\displaystyle{ \pmod 3}\) to: \(\displaystyle{ \pmod2}\) to bym normalnie odejmował 4x-2x?

bakala12
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3044
Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gołąb
Podziękował: 24 razy
Pomógł: 513 razy

Znaleźć wszystkie liczby całkowite x takie, że.

Post autor: bakala12 » 20 lip 2013, o 15:09

Mógłbyś ale byłaby to strata czasu bo \(\displaystyle{ 4x\equiv0\pmod{2}}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ x}\).

ODPOWIEDZ