Udowodnij, ze dla dowolnej liczby naturalnej n, ułamek \(\displaystyle{ \frac{n^{3} + 2n}{n^{4} + 3n^{2} + 1 }}\) jest nieskracalny.
Rozumiem ze nieskracalnosc tego ułamka moge udowodnic jesli udowodnie ze liczby w liczniku i mianowniku sa pierwsze wzgledem siebie, tylko jak mam to zrobic?
udowodnic nieskracalnosc
-
Qń
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
udowodnic nieskracalnosc
Można użyć algorytmu Euklidesa, a jeśli o nim nie słyszałeś, to można użyć go nie mówiąc, że się go używa:
Załóżmy, że \(\displaystyle{ d}\) jest dzielnikiem licznika i mianownika. W takim razie \(\displaystyle{ d}\) musi dzielić także liczbę:
\(\displaystyle{ n^4+3n^2+1 - n\cdot (n^3+2n)= n^2+1}\)
A skoro \(\displaystyle{ d}\) dzieli liczby \(\displaystyle{ n^3+2n}\) i \(\displaystyle{ n^2+1}\), to można podobny rachunek wykonać jeszcze kilka razy, aż jedną z pary liczb będzie jedynka, skąd od razu będzie wynikać teza zadania.
Q.
Załóżmy, że \(\displaystyle{ d}\) jest dzielnikiem licznika i mianownika. W takim razie \(\displaystyle{ d}\) musi dzielić także liczbę:
\(\displaystyle{ n^4+3n^2+1 - n\cdot (n^3+2n)= n^2+1}\)
A skoro \(\displaystyle{ d}\) dzieli liczby \(\displaystyle{ n^3+2n}\) i \(\displaystyle{ n^2+1}\), to można podobny rachunek wykonać jeszcze kilka razy, aż jedną z pary liczb będzie jedynka, skąd od razu będzie wynikać teza zadania.
Q.