Zapis dziesiętny liczby

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Awatar użytkownika
karolex123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 751
Rejestracja: 22 gru 2012, o 11:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: somewhere
Podziękował: 39 razy
Pomógł: 127 razy

Zapis dziesiętny liczby

Post autor: karolex123 »

Dana jest dodatnia liczba całkowita \(\displaystyle{ n}\). Wykaż, że w zapisie dziesiętnym liczby \(\displaystyle{ \sqrt{100 ^{n} +2}}\) na n-tym miejscu po przecinku jest cyfra 0.
Awatar użytkownika
JakimPL
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2401
Rejestracja: 25 mar 2010, o 12:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 43 razy
Pomógł: 459 razy

Zapis dziesiętny liczby

Post autor: JakimPL »

\(\displaystyle{ 10^n=\sqrt{100 ^{n}}<\sqrt{100 ^{n} +2}<\sqrt{100 ^{n} +2 + 100^{-n}}=\sqrt{\left(10^n+10^{-n}\right)^2}=10^n+10^{-n}}\)
bakala12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3044
Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gołąb
Podziękował: 24 razy
Pomógł: 513 razy

Zapis dziesiętny liczby

Post autor: bakala12 »

Takie coś przyszło mi do głowy:
\(\displaystyle{ 10^{n}+ \frac{1}{10^{n}} >\sqrt{100^{n}+2}>10^{n}+ \frac{9}{10^{n+1}}}\)
Trzeba to jeszcze spróbować wykazać, co chyba nie będzie trudne.
Awatar użytkownika
karolex123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 751
Rejestracja: 22 gru 2012, o 11:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: somewhere
Podziękował: 39 razy
Pomógł: 127 razy

Zapis dziesiętny liczby

Post autor: karolex123 »

Ok, dzięki i pozdrawiam !
Awatar użytkownika
Ponewor
Moderator
Moderator
Posty: 2218
Rejestracja: 30 sty 2012, o 21:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 297 razy

Zapis dziesiętny liczby

Post autor: Ponewor »

Zadanie czwarte z finału VII OMG 2011/2012.
ODPOWIEDZ